GamesFanatic.pl Gry planszowe, karciane, recenzje, felietony, nowości ze świata.
Sprawa zaczęła się chyba od moich komentarzy pod recenzją gry Pitagoras. Sugerowały one, że gra mogłaby się stać bardziej atrakcyjna, gdyby dopuścić większy zakres działań. Redakcja Games Fanatic poszła tym tropem i ogłosiła konkurs, w którym wylosowaną na kostkach liczbę można układać z liczb na kartach korzystając ze wszystkich znanych uczestnikom działań.
Gdy zobaczyłem, co wypadło na kostkach i kartach, pomyślałem, że sukcesem będzie ułożenie 10 równań. Ale nie wiedziałem, czy mogę w tym konkursie uczestniczyć. Według regulaminu nie mogli brać w nim udziału członkowie redakcji, a jestem raczej luźnym współpracownikiem. W odpowiedzi na tę wątpliwość zaproponowano mi udział na specjalnych zasadach co uznałem za dobre rozwiązanie szczególnie, że w międzyczasie zauważyłem możliwość wygenerowania nieskończenie wielu równań. Na zmianę regulaminu było już jednak za późno ale na szczęście nikt poza mną na taki pomysł nie wpadł.
Gra jest przeznaczona dla osób w wieku od 8 lat, więc zacznijmy od działań, które powinien znać ośmiolatek. Pozwalają one na ułożenie trzech rozwiązań:
(8 – 7 + 5) x 10 + 14
(8 – 7 + 5) x 14 – 10
(14 x 10 + 8) / (7 – 5)
Patrząc na dwa pierwsze rozwiązania można wyciągnąć dwa wnioski. Po pierwsze są to rozwiązania mające podobną strukturę: jedno 6 x 10 + 14, a drugie 6 x 14 – 10. Jeżeli więc uda się z liczb 5, 7 i 8 uzyskać w jakiś inny sposób 6, to mamy od razu dwa nowe rozwiązania. Drugi wniosek jest taki, że należy przyjrzeć się liczbom odległym od 74 o wartość jednej karty. Czyli liczbom 60, 64, 66, 67, 69, 79, 81, 82, 84 i 88. Jeżeli którąś z tych liczb da się zbudować z 4 kart z wyłączeniem tej, która odpowiada odległości od 74, to mamy rozwiązanie. W pierwszym przypadku jest to właśnie zestaw liczb 5, 7, 8 i 10.
Z zestawu liczb wartych zainteresowania rzucają się w oczy dwie: 64 i 81. Obie z nich stanowią potęgi liczb całkowitych:
64 = 82 = 43 = 26
81 = 92 = 34
Można więc np. ułożyć działania:
8(7-5) + 10
(7 – 5)(14-8) + 10
(14 – 5)(10-8) – 7
(8 – 5)(14-10) – 7
Dodatkowe rozwiązanie można uzyskać dzięki temu, że parzysta potęga liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. Bo z jednej strony 5 – 7 = – 2 to nie to samo, co 7 – 5 = 2 ale 2 i (– 2) podniesione do szóstej potęgi tak samo dają 64.
Kolejne możliwości daje wprowadzenie silni. Jest to funkcja, której wartość dla argumentu n stanowi iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Daje ona natychmiast alternatywne metody uzyskania liczby 6, o czym pisałem wcześniej:
(8 – 5)! = 3! = 1 x 2 x 3 = 6
((8 + 7) / 5)! = (15 / 5)! = 6
Jest też metoda bardziej wyrafinowana:
(8! / 7! – 5)! = (8 – 5)! = 6
Silnia pozwala na uzyskanie kilkunastu innych rozwiązań, np.
5! – 7 x 8 + 10
10 x 8 – (5 – 14/7)!
(14 – 8)! / 10 + 7 – 5
14 x 7 – (8 x 5 / 10)!
10 x 5 + (8 x 7 / 14)!
Funkcja silnia umożliwia wygenerowanie nieskończonej liczby rozwiązań. Jeden z uczestników konkursu wpadł na ten trop ale na szczęście go nie wykorzystał 😊 Przesłał kilka par bardzo podobnych rozwiązań, np:
8(7-5) + 10
8(7-5)! + 10
Skorzystał więc z tego, że 2! = 2. Ale przecież także (2!)! = 2 następnie ((2!)!)! = 2 i tak dalej czyli w rezultacie można stworzyć nieskończoną liczbę rozwiązań, różniących się tylko liczbą wykrzykników czyli symboli silni.
Oprócz zwykłej silni jest jeszcze silnia podwójna, definiowana jako iloczyn kolejnych liczb nieparzystych lub parzystych. Przykładowo 5!! = 1 x 3 x 5 = 15. Daje to kolejne możliwości:
7!! – 5!! – 14 – 10 + 8
10 x 8 – 7 – 14 + 5!!
Jednak z podwójnej silni nikt poza mną nie skorzystał. Nikt poza mną nie zauważył też, że logarytm dziesiętny przyjęło się zapisywać bez podawania podstawy czyli log 10 = 1 i stąd mamy takie rozwiązanie:
(7 + 8) x 5 – log 10
Kolejną operacją zwiększającą liczbę możliwości jest modulo. Nazwa może brzmieć groźnie ale jest to po prostu znane wszystkim z podstawówki dzielenie z resztą. Przykładowo działanie 14 mod 5, w niektórych językach programowania zapisywane jako 14 % 5, daje w efekcie wartość 4. Najprostszym sposobem wykorzystania modulo jest rozwiązanie:
10 x 7 + (14 mod 5)
Jednak zwycięzca konkursu znalazł niesamowite zastosowanie działania modulo i za samo to rozwiązanie (gdyby nie podał blisko 30 innych) należałaby się mu nagroda:
108×5 mod (14 x 7)
Kontrowersyjnym działaniem jest obcinanie do wartości całkowitej, czyli funkcja nazywana kiedyś z francuska „entier” a teraz częściej „floor function” albo po prostu „podłoga” i oznaczana nawiasem prostokątnym. Przykładowo [14 / 5] = 2. Początkowo miałem zamiar tej funkcji użyć ale uznałem, że daje ona zbyt dużo możliwości. Na szczęście tylko jeden uczestnik konkursu z entier skorzystał i to tylko w niewielkim zakresie, podając takie oto rozwiązanie:
10 x 7 + 5 – [14 / 8]
oraz kilka z obcięciem do liczby całkowitej wyniku pierwiastkowania.
A możliwości tej funkcji są ogromne, szczególnie w powiązaniu z innymi mniej znanymi funkcjami np. hiperbolicznymi. Bo tak się akurat składa, że zarówno sinus jak i cosinus hiperboliczny liczby 5 mają wartości nieznacznie przekraczające 74, więc po zastosowaniu entier mamy [sinh(5)] = 74 i [cosh(5)] = 74.
Nawiasem mówiąc obok funkcji „podłoga” istnieje też funkcja „sufit” (po angielsku „ceiling”) czyli zaokrąglenie w górę do najbliższej liczby całkowitej.
Jeden z uczestników wykorzystał w nadesłanym rozwiązaniu liczbę .5 w zapisie kalkulatorowym czy komputerowym równoważną 0,5. Takie rozwiązanie nie może być jednak uznane, bo w zadaniu konkursowym można było korzystać wyłącznie z liczb wylosowanych na kartach, a liczba 0,5 to nie to samo co 5. Ograniczenie do liczb wylosowanych na kartach pozwala też na „zbanowanie” rozwiązań, korzystających z pewnych symboli, stanowiących w istocie liczby. Nie można więc było korzystać z takich sztuczek, jak użycie |cos(π)| czy ln(e), by następnie wielokrotnie mnożyć rozwiązania przez uzyskane z tych działań jedynki.
A teraz seria rozwiązań bardziej skomplikowanych, wykorzystujących symbole sumy, iloczynu, całki i dwumianu Newtona:
Nie są to zresztą jedyne możliwości użycia tych symboli ale nie chciałem zbytnio stresować humanistów, którzy może przypadkowo czytają ten felieton.
I na koniec dość zaskakujący pomysł, którego w pierwszej chwili nie potrafiłem zinterpretować:
(10 x 14)7 + 5 – 8
Otóż mała cyfra 7 za nawiasem oznacza siódemkowy układ pozycyjny, w którym każda cyfra odpowiada kolejnej potędze siódemki. Cała operacja wygląda więc tak: najpierw normalnie mnożymy 10 przez 14 uzyskując 140, następnie tę liczbę 140 interpretujemy tak, jakby była w systemie siódemkowym czyli liczmy 1 x 7 x 7 + 4 x 7 + 0 = 77 i dalej działamy w systemie dziesiątkowym, wykonując dodawanie i odejmowanie.
Chyba po przeczytaniu tego tekstu nikt nie będzie miał wątpliwości do zasygnalizowanej w tytule potęgi matematyki.
Od Redakcji
Skoro wyniki zostały już omówione (a fragmenty zwycięskich odpowiedzi możecie zobaczyć na ilustracji powyżej) pozostaje już tylko ogłosić zwycięzcę:
I miejsce w konkursie zdobywa Karol Masłowski, który wyraźnie zdystansował wszystkich pozostałych uczestników nadsyłając ponad 30 poprawnych rozwiązań. Tym samym otrzymuje od wydawnictwa Egmont grę Pitagoras
II miejsce i również grę Pitagoras otrzymuje Żelek.
Nikomu nie udało się pokonać Pana Michała – pomijając pomysł na uzyskanie nieskończenie wielu rozwiązań – nadesłał ich aż 37. Niemniej Redakcja zdecydowała, aby przyznać nagrodę-niespodziankę Karolowi Masłowskiemu za fenomenalne pomysły i bardzo ciekawe rozwiązania.
Gratulujemy!
Wszystkim serdecznie dziękujemy za udział a z laureatami skontaktujemy się drogą e-mailową.
