Home / Artykuły / Felietony / Matematyka w grach – Teoria wieży cz.1

Matematyka w grach – Teoria wieży cz.1

Losowość w grach planszowych realizowana jest na różne sposoby. Najczęściej poprzez rzut kostką (kostkami), dobieranie i odkrywanie kart, odwracanie żetonów czy wyciąganie pewnych przedmiotów z woreczka. Ale są też inne metody i inne „generatory losowości”. Należy do nich specjalna wieża, używana w grach Szogun, Wallenstein i Amerigo. To, jak działa wieża w grze Amerigo i czy działa tak, jak powinna, było nawet  przedmiotem dyskusji na naszym forum zaraz po wejściu na rynek tej gry. Postanowiłem więc sprawdzić działanie wieży i przedstawić swoje obserwacje i przemyślenia na Games Fanatic.

Na czym polega losowanie z użyciem wieży? Otóż na początku gry wrzuca się do niej kolorowe sześciany, które będę dalej nazywał kostkami, choć nie mają żadnych oznaczeń i mogą różnić się tylko kolorami. Część z tych kostek przelatuje przez wieżę, a część w niej pozostaje. Następnie w trakcie rozgrywki do wieży wrzucane są kolejne kostki. I znowu – wrzucona kostka może przez wieżę przelecieć, może się w niej zatrzymać. Ale może także spowodować wypadnięcie z wieży kostek wcześniej do niej wrzuconych, a sama wypaść razem z nimi lub w wieży pozostać. Wynikiem losowania są kostki, które z wieży wypadły.

Wieża okiem gracza

Wieża okiem gracza

Wieża okiem ciekawskiego gracza

Wieża okiem ciekawskiego gracza

Zaczynając od góry, wieża składa się z plastikowego leja, ustawionej pionowo tekturowej rury o przekroju kwadratowym i plastikowej podstawy, stanowiącej „dziedziniec” wieży, czyli miejsce, w którym zatrzymują się wypadające z wieży kostki. Wewnątrz rury znajdują się dwie poziome przegrody (piętra) z wyciętymi otworami oraz nachylona pod kątem 30 stopni do poziomu pochylnia, kierująca wypadające kostki na dziedziniec. Na poniższym rysunku widać wieżę w przekroju pionowym.

Wieża okiem konstruktora

Wieża okiem konstruktora

Stanowiący górną część wieży lej ma dwa prostopadłe i przecinające się na środku żebra, które stanowią jego usztywnienie i jednocześnie przeszkodę dla kostek. Wprawdzie żebra są tak wykonane, że kostki się na nich nie mogą zatrzymać, ale trafiając na żebra zmieniają tor ruchu. Kostki mogą natomiast zatrzymać się na piętrach, których widok z góry pokazany jest na rysunkach. Jeżeli kostka przeleci przez jeden z otworów górnego, a następnie dolnego piętra, to zsuwa się z pochylni i ląduje na dziedzińcu.

Wieża okiem analityka

Wieża okiem analityka

Przedstawiony tu opis nie ma charakteru ściśle technicznego, a raczej poglądowy, nie podaję więc dokładnych wymiarów poszczególnych elementów, z wyjątkiem szerokości kilku wycięć na górnym piętrze. Dlaczego akurat te wymiary są godne dokładnego zaprezentowania? Otóż krawędź kostki ma długość 8 mm czyli nieco mniej niż szerokość tego wycięcia. Ale za to przekątna ściany kostki jest od tej szerokości nieco większa. Jakie to ma znaczenie, nietrudno zgadnąć. Gdyby jednak ktoś nie zgadł, to znajdzie wyjaśnienie w dalszej części artykułu.

Zajmijmy się teraz ruchem kostek. Na pierwszy rzut oka sprawa wydaje się prosta. Wypuszczona przez gracza  z ręki kostka spada swobodnie tak, jak jabłko, które obserwował Newton. Ale żeby ten ruch fizycznie opisać, trzeba przede wszystkim wiedzieć, w którym miejscu gracz kostkę z ręki wypuścił, czyli znać współrzędne punktu startowego. I to znać z dużą dokładnością, bo nawet milimetr przesunięcia w bok może skutkować tym, że kostka nie zatrzyma się na piętrze, tylko przeleci dalej. Ale to nie wszystko. Znaczenie może także mieć początkowe ustawienie kostki w przestrzeni, czyli nachylenie jej ścianek do poziomu. Tak więc od samego początku mamy sporo niewiadomych czy może raczej – parametrów trudnych do zmierzenia. A dalej sprawa jeszcze się komplikuje. Jak już pisałem wcześniej, spadające kostki mogą po drodze trafić na żebra, stanowiące część leja, albo na brzegi leja, odbić się lub ześlizgnąć i przez to zyskać prędkość poziomą i obrotową. Trzeba też pamiętać o tym, że zazwyczaj gracz wrzuca do wieży więcej niż jedną kostkę i lecące wspólnie kostki mogą się ze sobą zderzać, co także wpływa na ich ruch.

Przejdźmy wreszcie do rzeczy najważniejszej – co się dzieje, gdy spadająca kostka znajdzie się na wysokości jednego z pięter. Przede wszystkim może ona trafić albo na tekturę, albo na wycięcie czyli powietrze. Jeżeli trafi na wycięcie, to zazwyczaj spada niżej – na kolejne piętro albo na pochyloną płaszczyznę, z której zsuwa się na dziedziniec. Zazwyczaj, ale nie zawsze – bo może dojść do sytuacji, którą zasygnalizowałem wcześniej, a teraz chciałbym pokazać. Jeżeli kostka trafi na wąską szczelinę, a jest ustawiona pod odpowiednim kątem, to jak widać na rysunku może zawisnąć i nie spadnie dalej.

Wieża okiem matematyka

Wieża okiem matematyka

Jeżeli kostka trafi na tekturową powierzchnię piętra, to może albo od razu się po niej przesunąć, albo najpierw odbić częściowo sprężyście i dopiero później zacząć się przesuwać. Długość tego przesunięcia zależna jest od prędkości poziomej kostki w chwili zetknięcia z płaszczyzną, a także kąta nachylenia i prędkości kątowej. Najistotniejsze w tym przesunięciu jest to, czy na całej jego trasie środek ciężkości kostki jest nad tekturą czy też, choć przez chwilę, nad powietrzem. Bo jeżeli podczas przesuwania się kostka przekroczy brzeg otworu, to spadnie niżej, o ile oczywiście nie zawiesi się, jak na rysunku powyżej.

Jak widać z powyższych rozważań, mamy tak dużo zmiennych, które trzeba by uwzględnić, a przede wszystkim tyle niewiadomych, że nie da się przewidzieć ani policzyć, czy kostka zatrzyma się na którymś piętrze, czy też wypadnie z wieży. I bardzo dobrze, bo dzięki temu wieża może być dobrym generatorem losowości. Do analizy tego, jak działa wieża trzeba zamiast mechaniki deterministycznej zastosować metodę statystyczną, o czym będzie można przeczytać w następnych odcinkach „Teorii wieży”.

8 komentarzy

  1. Andy

    Choć z matematyką zawsze byłem na bakier, to dla mnie zarówno temat, jak i jego przedstawienie kapitalne! Już czekam na następne części. :)

  2. Również czekam na dalsze części.
    W tym obalenie mitu, w który nadal wielu wierzy, że wiele (rzutów) kości to duża losowość. :)

    • A to już zależy od tego, ile dla ciebie oznacza „wiele”. Stosowanie prawa wielkich liczb w odniesieniu do (znanych mi) gier planszowych jest, delikatnie mówiąc, na wyrost.

  3. RAJ

    Fajne, ale mam istotną moim zdaniem uwagę. Z warunków początkowych istotne nie tylko będzie pozycja i ułożenie kostki w przestrzeni, ale również werktor ruchu i jej energia – zarówno kinetyczna jak i potencjalna.
    Innymi słowy ma znaczenie w jaki sposób wrzucimy kostkę do wieży (ruch ręki a także wysokość z jakiej wypuszczamy kostki).
    Oznacza to, że wszelkie rozważania, również statystyczne mogą okazać się uzależnione od sposobu rzucania, czyli upraszczając – od osoby rzucającego. Może się okazać, że analizy statystyczne prawdziwe dla jednej osoby będą nieprawdziwe dla innych.
    Warto by więc takie analizy przeprowadzić dla co najmniej trzech różnych osób.
    Do tego trzeba by dodać taką kwestię, że inaczej będziemy rzucać podczas długiej serii rzutów testowych a inaczej przy pojedynczych rzutach podczas rozgrywki.

  4. efkon

    Są dwie możliwości: kostka przeleci albo zostanie. Prawdopodobieństwo wynosi zatem 50%… Co wynika bezpośrednio z przeniesienia dowodu prawdopodobieństwa, że rzucona moneta stanie na sztorc :):):)

  5. MichalStajszczak

    Jak słusznie zauważył RAJ, uprościłem nieco zagadnienie poprzez założenie, że kostka jest wypuszczona z ręki gracza z zerowymi prędkościami liniowymi i obrotowymi. Oczywście można sobie wyobrazić różne sytuacje: jeden gracz wypuszcza kostki z nieruchomej ręki, drugi kręci ręką przed i w trakcie puszczania kostek, trzeciemu ręka drży ze zdenerwowania itd. Niemniej jednak ja właśnie chciałem pokazać, że nawet wtedy, gdy ten ruch jest początkowo maksymalnie uproszczony, to ze względu na zderzenia z innymi kostkami oraz z elementami leja wieży, w chwili zetknięcia z powierzchnią piętra ruch ten jest już bardzo złożony. A ponadto mamy tyle niewiadomych, że nie da się przewidzieć zachowania kostki, nawet gdybyśmy rozwiązali równania jej ruchu. Oczywiscie to kto i jak wrzuca kostki do wieży może mieć znaczenie nie tylko w analizie fizycznej, ale także statystycznej. Wybiegając nieco naprzód mogę napisać, że zdawałem sobie z tego sprawę i w drugim odcinku Teorii wieży, przy omawianiu wyników pewnego eksperymentu zaznaczyłem, że uzyskane wyniki dotyczą „mojego egzemplarza wieży i kostek wrzucanych moją ręką”.

  6. Veridiana

    następna część będzie opublikowana najprawdopodobniej w środę

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*