Home | Felietony | Domino i matematyka

Domino i matematyka
Ten tekst przeczytasz w 6 minut

Felietony w dziale „Matematyka w grach” opisują zwykle zastosowanie matematyki do analizy zagadnień, występujących w różnych grach planszowych. Tym razem chciałbym pokazać sytuację odwrotną – jak gra domino przyczyniła się do rozwiązania dwóch zagadnień naukowych.

Na początek jednak podstawowe pytanie:

Z ilu kamieni składa się zestaw domina i dlaczego z tylu?

Pytanie może wydawać się dziwne – przecież wiadomo, że w zestawie jest 28 kamieni. To prawda – ale to dotyczy klasycznego domina szóstkowego. Jeszcze 30 lat temu inne zestawy były w Polsce praktycznie nieznane. Jednak w ostatnich kilkunastu latach sytuacja się zmieniła. Można kupić domino dziewiątkowe (czyli takie, które na połówkach kamieni ma od zera do dziewięciu oczek), dwunastkowe, a nawet piętnastkowe.

Jeżeli oznaczymy maksymalną liczbę oczek na połówce kamienia przez n (a więc w dominie szóstkowym n=6), to ze względu na obecność mydeł czyli połówek bez oczek mamy w komplecie kombinacje 2 elementów z n+1, odpowiadające dominom z różnymi liczbami oczek na obu połówkach oraz n+1 dubletów. Wzór na liczbę kamieni wygląda więc tak:
wzrór matematyczny

Jak łatwo sprawdzić, dla domina szóstkowego daje to 7*8/2 = 28. Oczywiście do tego samego wyniku można dojść stosując kombinacje z powtórzeniami. A jeżeli ktoś chce wiedzieć, ile jest razem oczek na wszystkich kamieniach, to określa to wzór:

Wzrór matematyczny

W tabelce można odczytać wyniki obliczeń, przeprowadzonych na podstawie powyższych wzorów, dla różnych zestawów domina

Wariant domina

Liczba kamieni

Liczba oczek

Szóstkowe

28

168

Ósemkowe

45

360

Dziewiątkowe

55

495

Dwunastkowe

91

1092

Piętnastkowe

136

2040

Układanie łańcucha i cykle Eulera

Do tego by zauważyć, że z wszystkich 28 kamieni domina szóstkowego można zbudować łańcuch zgodny z zasadami gry (tzn. sąsiadujące ze sobą połówki kamieni mają taką samą liczbę oczek), nie potrzeba wiedzy matematycznej. Ale policzenie, na ile różnych sposobów można taki łańcuch skonstruować, to już zagadnienie bardzo trudne. Jako pierwszy jego rozwiązanie podał w napisanym w 1859 roku, a opublikowanym w 1871 artykule M. Reiss [1]. W efekcie dość zawiłych obliczeń, zajmujących 58 stron, uzyskał wynik: 7 959 229 931 520.

Dziewiętnastowieczny francuski popularyzator matematyki Edouard Lucas, zacytował powyższy rezultat w swojej książce [2] zaznaczając jednak, że metoda Reissa jest bardzo skomplikowana i trudna do zweryfikowania. W następnym wydaniu książki Lucas poinformował czytelników, że Charles-Ange Laisant zaproponował, by do rozwiązania problemu dominowego łańcucha zastosować teorię grafów, a Jolivard i Tarry przeprowadzili oparte na tej teorii obliczenia.K7

 

Jeżeli z zestawu 28 kamieni domina szóstkowego usuniemy dublety, to pozostałe 21 kamieni możemy przedstawić w postaci grafu pełnego K7. Każdy z 7 wierzchołków tego grafu (czyli granatowych kropek) odpowiada innej liczbie oczek (od 0 do 6). Każda łącząca kropki linia czyli krawędź grafu, oznacza jeden z 21 kamieni. Cyklem Eulera nazywamy drogę, przechodzącą przez każdą krawędź grafu dokładnie raz. A więc zamknięty łańcuch, złożony z 21 kamieni jest cyklem Eulera. Zagadnienie sprowadza się zatem do policzenia, ile jest cykli Eulera w grafie pełnym K7.

Rozwiązanie tego problemu przedstawił Gaston Tarry w artykule:

GEOMETRY OF POSITION: NUMBER OF DIFFERENT WAYS OF TRAVERSING ALL THE ALLEYS OF A RE-ENTRANT LABYRINTH IN A SINGLE WALK, PASSING ONLY ONCE THROUGH EACH ALLEY

Graficzne wyjaśnienie podanych w tekście wzorów można zobaczyć na dwóch obrazkach:

obrazek 1 - link        obrazek 2 - link

Z wykonanych przez Tarry’ego obliczeń wynika, że liczba cykli Eulera w grafie pełnym K7 wynosi 129 976 320. Tyle różnych pierścieni czyli zamkniętych łańcuchów można utworzyć z 21 kamieni domina. Teraz dołóżmy dublety. Każdy z 7 dubletów może być wstawiony do łańcucha w 3 miejscach, bo są w łańcuchu trzy pary sąsiadujących mydeł, trzy pary jedynek itd. Zamknięty pierścień możemy rozerwać w jednym z 28 miejsc – między każdą parą sąsiadujących ze sobą kamieni. Końcowy wynik obliczeń to zatem 129 976 320 x 3^7 x 28 = 7 959 229 931 520 czyli dokładnie tyle, ile otrzymał Reiss.

Podział płaszczyzny na domina

DOMINO3X2

Jak widać na powyższym rysunku, prostokąt 3×2 można podzielić na kamienie domina czyli prostokąty 2×1 na trzy sposoby. Wprawdzie w grze w domino znaczenia to nie ma ale okazuje się, że liczba podziałów jest ważna w chemii, a konkretnie w badaniach dotyczących dimerów, czyli najprostszych oligomerów, złożonych z dwóch cząsteczek. Zagadnienie to nazwane zostało „domino tiling” czyli podział na domina.

Liczbę podziałów prostokąta 3×2 policzyć łatwo ale w przypadku figur nieregularnych, a nawet większych prostokątów, sprawa jest znacznie trudniejsza. Na ile sposobów można np. podzielić na domina pokazaną na obrazku figurę:

2024

Przypuszczam, że niewiele osób jest w stanie to policzyć, więc podaję wynik: na 2024 sposoby. Jak to policzyłem, a raczej: jak to policzył komputer? Otóż liczba możliwych podziałów jest pierwiastkiem kwadratowym z wartości bezwzględnej wyznacznika, zawierającego informacje o sąsiedztwach kwadracików z powyższego obrazka. Konkretnie: jeżeli dwa kwadraciki sąsiadują ze sobą w poziomie, to odpowiada tej parze wartość 1, jeżeli sąsiadują w pionie – jednostka urojona i, a gdy nie sąsiadują – zero [3]. Oczywiście nie będę tutaj podawał opisującej obrazek macierzy 36×36, tylko pokażę to na prostszym przykładzie prostokąta 3×2. Jeżeli ponumerujemy należące do tego prostokąta kwadraciki w sposób pokazany na kolejnym obrazku:

123456

to wyznacznik będzie wyglądał tak:

Pfaffian

Mimo, że wyznacznik zawiera liczby urojone, jego wartość jest liczbą całkowitą. Konkretnie jest to liczba 9, z której pierwiastkiem kwadratowym jest 3 czyli tyle, ile wyjść powinno.

Jeżeli dzielona na domina figura jest prostokątem mxn, to liczba możliwych podziałów jest określona wzorem [3]:

Wzrór matematyczny

w którym symbol ∏ oznacza mnożenie wyrazów w nawiasie (tu pionowe kreski symbolizują wartość bezwzględną) dla kolejnych wartości l od 1 do m i k od 1 do n. Wzór wygląda bardzo dziwnie, bo jest w nim użyta funkcja cosinus, choć żadnych kątów (poza prostymi) nie widać. Ale najdziwniejsze jest to, że choć czynnikami w tym iloczynie są liczby zespolone z niewymiernymi częściami rzeczywistymi i urojonymi, to wynik jest zawsze liczbą całkowitą.

Jak ktoś nie lubi liczb zespolonych, to może zastosować jeden z dwóch poniższych wzorów, w których cosinusy są w drugiej potędze:

Wzrór matematyczny

Jeżeli chcemy policzyć liczbę podziałów dla prostokąta 3×2, to w środkowym wzorze j może przyjmować wartości 1 lub 2, a k tylko 1, mamy więc w rezultacie iloczyn dwóch sum:

(4cos2(π/4) + 4cos2(π/3)) (4cos2(π/2) + 4cos2(π/4)) = (2 + 1) (0 + 1) = 3

Oczywiście pierwszy i trzeci wzór dają ten sam wynik (jak ktoś nie wierzy, może sprawdzić).

A co w sytuacji, gdy oba boki prostokąta mają nieparzystą długość? Wtedy w każdym z trzech powyższych wzorów pojawi się przynajmniej jeden wyraz o wartości 0 (bo cosinus π/2 jest równy 0) i w związku z tym iloczyn będzie równy 0.

Jeżeli dzielona na domina figura jest prostokątem o szerokości 2, to można zauważyć pewną własność rekurencyjną:

Fibonacci

Ostatni kamień z prawej strony prostokąta nx2 może zostać umieszczony pionowo i wtedy po jego lewej stronie mamy prostokąt o długości n-1. Druga możliwość zakończenia prostokąta to umieszczenie ma jego prawym końcu dwóch poziomych kamieni. Wtedy po lewej stronie mamy prostokąt o długości n-2. Liczbę możliwych podziałów prostokąta nx2 można więc opisać wzorem rekurencyjnym:

L(n) = L(n-1) + L(n-2)

A zatem liczba możliwości podziału prostokąta nx2 określona jest przez ciąg Fibonacciego. Wzory rekurencyjne zostały sformułowane dla kilku innych układów, takich jak np. prostokąty o szerokości 3 lub 4 oraz przecinających się prostokątów o szerokości 2. A na koniec ciekawy kształt czyli tzw. diament Azteków [4]:

diament Azteków

Pokazany na rysunku diament Azteków ma rząd 3 (diament rzędu 1 to po prostu kwadrat 2×2). Liczba możliwości podziału diamentu Azteków rzędu n określona jest wzorem:

2n (n+1)/2

 

Bibliografia:

  1. M. Reiss, Evaluation du nombre de combinaisons desquelles les 28 d´es ´ d’un jeu du domino sont susceptibles d’apr`es la r`egle de ce jeu, Ann. Mat. Pura Appl. (2), 5 (1871–3) 63–120.
  2. Edouard Lucas „Recreatios Mathematiques”, Librairie Albert Banchard, 1892
  3. P. W. Kasteleyn. „The statistics of dimers on a lattice : I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice.” Physica 27 (December 1961) 1209-1225
  4. Noam Elkies, Greg Kuperberg, Michael Larsen, and James Propp. „Alternating-sign matrices and domino tilings.” I. J. Algebraic Combin., 1(2):111–132, 1992.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings