Matematyka w grach – Problem podziału nagrody Felieton
Ten tekst przeczytasz w 8 minut

Jednym z efektów pandemii zbrodniczego koronawirusa była konieczność przerwania różnych rozgrywek sportowych. Problemem w takich sytuacjach bywa często to, jak podzielić przyznawaną za zwycięstwo nagrodę. Nie jest to zagadnienie nowe, bo po raz pierwszy zostało opisane już ponad 500 lat temu, gdy epidemie były częstsze, a ich skutki znacznie bardziej dotkliwe.

Luca Pacioli opublikował w 1494 obszerne dzieło Summa de Arithmetica Geometria Proportioni Et Proportionalita, zawierające praktycznie całą ówczesną wiedzę na temat matematyki i jej praktycznego zastosowania. M.in. dzięki tej książce upowszechniona została „reguła podwójnego zapisu” (ewidencjonowania każdej operacji na kontach „winien” i „ma”) i dlatego Pacioli nazywany bywa „ojcem rachunkowości”. Z tej książki pochodzi też pierwsze sformułowanie problemu podziału nagrody meczowej, nazywanego także „problemem punktów” (po angielsku Problem of Points).

Dwaj gracze rozgrywali mecz do 6 punktów o nagrodę w wysokości 10 dukatów. Jednak przy stanie 5:2 mecz musiał zostać przerwany z przyczyn niezależnych od obu zawodników. Jaki będzie sprawiedliwy podział nagrody? Pacioli uznał, że nagrodę należy podzielić proporcjonalnie do zdobytych punktów, a zatem pierwszemu z graczy przydzielić 5/7 puli czyli 7 i 1/7 dukata, a drugiemu 2/7, czyli 2 i 6/7 dukata. Autor tak to zapisał, bo ułamki dziesiętne rozpowszechniły się dopiero dwieście lat później. Dla współczesnego czytelnika bardziej zrozumiała będzie chyba informacja, że jeden z graczy powinien dostać 71,4%, a drugi 28,6% puli.

Drugi przykład z książki Paciolego dotyczył turnieju łuczniczego z udziałem trzech zawodników, rozgrywanego także do 6 punktów i o taką samą jak poprzednio nagrodę w wysokości 10 dukatów, przerwanego w sytuacji, gdy jeden z graczy miał 4, drugi 3, a trzeci 2 zdobyte punkty. Tu też Pacioli zastosował podejście księgowego, uznającego to, co każdy z graczy „ma” i zaproponował podział nagrody proporcjonalnie do liczby zdobytych punktów, czyli pierwszy z graczy powinien otrzymać 4 i 4/9, drugi 3 i 1/3, a trzeci 2 i 2/9 dukata.

Inny włoski matematyk, odkrywca metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia i jeden z pionierów balistyki – Niccolò Fontana zwany Tartaglia, w wydanej w 1556 roku książce General tratatto di numeri e misure, zwrócił uwagę na to, że metoda Paciolego daje w niektórych przypadkach absurdalne wyniki. Jeżeli w momencie przerwania meczu wynik byłby 1:0, prowadzący gracz zyskiwałby prawo do całej nagrody! Tartaglia zaproponował, by o podziale nagrody decydował stosunek różnicy liczby zdobytych punktów do liczby punktów niezbędnej do wygrania meczu. W przypadku wyniku 1:0 w meczu do 6 punktów prowadzący otrzymywałby połowę puli oraz 1/6 z pozostałych 5 dukatów (bo 1/6 to wynik dzielenia różnicy zdobytych dotąd punktów przez liczbę punktów niezbędną do wygrania meczu). A w przykładzie podanym przez Paciolego czyli wyniku 5:2 w momencie przerwania meczu – połowę puli oraz (5-2)/6 czyli połowę z pozostałych 5 dukatów. W efekcie sprawiedliwy podział to według Tartagli 75% do 25%.

Metoda zaproponowana przez Tartaglię też jednak nie zawsze działała dobrze. Bo np. w meczu do 100 punktów wyznaczała podział 55% do 45% zarówno przy wyniku 55:45 jak i 99:89 i Tartaglia uznał, że problem nie ma jednoznacznego rozwiązania. Do wniosku o braku rozwiązania doszedł też na początku XVI wieku Lorenzo Forestani. On z kolei proponował, by policzyć stosunek liczby punktów każdego gracza do maksymalnej długości meczu, a resztę rozdzielić równo między graczy. Mecz do 6 wygranych może składać się maksymalnie z 11 partii, więc graczowi, który zdobył 5 punktów przysługuje 5/11 puli, a przeciwnikowi, który zdobył 2 punkty – 2/11. pozostałe 4/11 należy podzielić po połowie. W ten sposób pierwszy gracz uzyska 7/11, a drugi 4/11 puli. Procentowo będzie to 63,6 do 36,4.

Wszystkie opisane wyżej metody opierały się na punktach, które gracze już zdobyli. Bo tak rozumiana była wtedy matematyka – dotyczyła tylko przeszłości i teraźniejszości, a przyszłości nie opisywała. Przyszłością w tamtej epoce mogli zajmować się astrologowie, a nie matematycy.

Być może właśnie dlatego pierwszym, który zaproponował (i to już w roku 1539) oparcie podziału nagrody na liczbie punktów brakujących do zwycięstwa, a nie na liczbie już zdobytych, był Girolamo Cardano – lekarz, matematyk, wynalazca ale także astrolog. Trafnie ocenił też, że nie może to być zwykła proporcja liczby punktów brakujących do zakończenia gry. Zaproponował więc jako miarę udziału w wygranej sumę postępu arytmetycznego. Przykładowo, jeżeli gra toczy się do 10 punktów, jeden z graczy zdobył ich 9, a drugi 7, to nagrodę należy podzielić w proporcji 6 do 1, bo 6=1+2+3. Analogicznie, gdy stan meczu rozgrywanego do 10 punktów był w chwili przerwania gry 6:3, to nagrodę należy podzielić w proporcji 28:10, bo 10-3=7 i 1+2+3+4+5+6+7=28, natomiast 10-6=4 i 1+2+3+4=10. W pierwotnym zagadnieniu Paciolego mieliśmy mecz do 6 punktów, przerwany przy stanie 5:2, więc zgodnie z metodą Cardana nagrodę należałoby podzielić w stosunku 10:1, a zatem prowadzącemu przysługiwałoby 90,9% a drugiemu graczowi 9,1% puli.

W 1654 roku zagadnieniem podziału nagrody meczowej zainteresował się francuski pisarz Antoine Gombaud, który w publicystycznych dialogach przedstawiał swoje poglądy jako wypowiedzi fikcyjnego kawalera de Mere. Gombaud wprawdzie na matematyce się nie znał, ale wśród licznych jego znajomych był Blaise Pascal. O tym, jak w końcu udało się dojść do właściwego rozwiązania można dowiedzieć się z listów, jakie pisali do siebie Pascal i zamieszkały w Tuluzie prawnik ale z zamiłowania matematyk Pierre Fermat.

Pascal przeanalizował nieco prostszy przypadek: dwaj gracze włożyli do puli po 32 pistole i gra toczyła się do zdobycia 3 punktów. Mogła być przerwana przy stanie 2:2, 2:1, 2:0, 1:1, 1:0 lub 0:0. W przypadku remisu sprawa była prosta – obu graczom należało się po połowie nagrody. Analizę pozostałych przypadków Pascal zaczął od 2:1. I tu zastosował przełomową metodę: określił, co może wydarzyć się później. Możliwości były dwie – albo następny punkt zdobędzie gracz prowadzący i będzie to oznaczało zakończenie meczu jego zwycięstwem albo drugi gracz i w ten sposób doprowadzi do remisu. W pierwszym przypadku prowadzący zdobędzie całość puli czyli 64 pistole , a w drugim każdy zabierze swoje 32 pistole. Stąd wniosek, że pierwszy gracz powinien otrzymać 32 pistole (bo co najmniej tyle ma zagwarantowane w obu przypadkach) plus połowę z pozostałych 32 (bo następną partię może wygrać albo jeden albo drugi zawodnik). Tak więc w przypadku meczu przerwanego przy stanie 2:1 sprawiedliwy podział to 48:16 pistoli czyli w stosunku 3:1. Przejdźmy teraz do przypadku 2:0. Jeżeli kolejną partię wygra prowadzący, to wygrywa mecz i zabiera całą pulę. Jeżeli wygra drugi gracz, to będziemy mieli wynik 2:1 czyli doprowadzimy do zbadanego już przypadku, w którym podział był 48:16. Rozumując tak jak wcześniej, możemy przy stanie 2:0 przydzielić pierwszemu graczowi (64+48)/2=56 pistoli, a drugiemu graczowi 8. Zaś w przypadku wyniku 1:0, następna partia może zmienić wynik na 2:0 (dla którego mamy podział 56:8) albo na 1:1, z podziałem 32:32. I wtedy sprawiedliwy będzie podział puli w stosunku 44:20 czyli po skróceniu 11:5.

Wróćmy teraz do pierwotnego problemu, postawionego przez Paciolego. Jeżeli mecz został przerwany przy stanie 5:2, to metodą zastosowaną przez Pascala uzyskujemy podział w stosunku 15:1, czyli 93,75%:6,25%. (Jak widać wszystkie wcześniej pokazane rozwiązania były krzywdzące dla prowadzącego.) Niestety algorytm Pascala miał istotną wadę. Przy dużej liczbie punktów, brakujących łącznie graczom do zwycięstwa, obliczenia były dość żmudne, a komputerów jeszcze przecież nie było. Znacznym uproszczeniem było zastosowanie trójkąta arytmetycznego, który w wersji podanej przez Pascala wyglądał tak:

Znacznie bardziej czytelna jest wersja współczesna:

Na lewym i prawym brzegu trójkąta umieszczone są jedynki, a każda liczba wewnątrz trójkąta jest sumą dwóch liczb, znajdujących się w wierszu bezpośrednio wyższym. Trójkąt Pascala ma wiele zastosowań, ale skoncentrujmy się na jego użyciu do rozwiązania problemu nagrody meczowej. Otóż każdy kolejny wiersz odpowiada maksymalnej liczbie partii, jakie trzeba rozegrać do zakończenia meczu, przy czym umieszczona na samej górze jedynka oznacza zero partii. W przypadku meczu do 6 zwycięstw, przerwanego przy stanie 5:2, maksymalna liczba partii do zakończenia to 4. Podobnie jest w przypadku meczu do 3 zwycięstw, przerwanego przy stanie 1:0. Do obliczeń zastosujemy wiec wiersz, złożony z liczb 1, 4, 6, 4 i 1. Jest w tym wierszu 5 liczb, a 5 można rozłożyć na sumę dwóch liczb dodatnich na 2 sposoby: 3 i 2 oraz 4 i 1. Pierwszy sposób odpowiada przypadkowi 1:0 w meczu do trzech zwycięstw. Jeżeli dodamy trzy kolejne liczby z wiersza, poczynając od lewej, to otrzymamy 11, a suma pozostałych dwóch liczb jest równa 5. Mamy więc stosunek 11:5, który uzyskał Pascal dla meczu przerwanego przy stanie 1:0. Jeżeli dodamy cztery kolejne liczby, to mamy 15 czyli to, co powinno wyjść w oryginalnym zadaniu Paciolego, w którym mecz do 6 punktów przerwany został przy stanie 5:2.

Nawiasem mówiąc trójkąt arytmetyczny znali zarówno Tartaglia, jak i Cardano (i dlatego Włosi używają nazwy Triangolo di Tartaglia). Jeszcze wcześniej znany był w Chinach (gdzie nosi nazwę trójkąta Yanghui), a najwcześniej w Indiach. Ale dopiero Pascal wpadł na pomysł wykorzystania tego trójkąta w analizie problemu nagrody meczowej.

Pascal analizował również problem podziału nagrody w turnieju z udziałem trzech graczy, rozgrywanego do trzech punktów, a przerwanego przy stanie 2:1:1. Taki mecz musi się skończyć maksymalnie po trzech kolejnych partiach, więc Pascal wypisał wszystkie możliwe przypadki, czyli 27 (3³). Miał jednak pewne wątpliwości co do interpretacji wyników i dopiero Fermat pokazał, że prawidłowy będzie podział w stosunku 17:5:5.

Właściwy sposób podziału nagrody w opisanym przez Paciolego turnieju trzech łuczników to 451:195:83 czyli uczestnicy powinni otrzymać w przybliżeniu kolejno: 62%, 27% i 11% puli. Wynik ten podał jako pierwszy w 1657 roku Christiaan Huygens w niewielkiej (liczącej tylko 24 strony) książce „O grze w kości”, uważanej za pierwszą publikację na temat rachunku prawdopodobieństwa. Jak napisał Huygens, aby dojść do tego wyniku (a także wyników dla innych układów liczb partii, brakujących do wygrania meczu), trzeba rozważyć kolejno prostsze przypadki. Ogólne wzory podał kilkadziesiąt lat później Abraham de Moivre ale są one tak skomplikowane w porównaniu z trójkątem Pascala, że podobnie jak to zrobił Huygens, de Moivre uznał za wskazane zamieścić tabelkę z rozwiązaniami dla kilkunastu najprostszych układów.

Ponieważ „kawaler de Mere” był z zamiłowania hazardzistą, nowy dział matematyki z miejsca wzbudził zainteresowanie wśród jego znajomych graczy, a gracze namówili matematyków do podjęcia prac nad tymi zagadnieniami. Pierwsza książka na temat rachunku prawdopodobieństwa, napisana w 1657 roku przez Christiaana Huygensa, nosiła więc tytuł „O grze w kości”, a kilka kolejnych opisywało głównie problemy związane z hazardem. I tak w książce „Doctrine of Chances” Abraham de Moivre podał ogólną metodę podziału nagrody w turnieju z udziałem trzech graczy, której szczególnym przypadkiem były opisane przez Paciolego zawody trzech łuczników. Niestety wzory wyprowadzone przez de Moivre’a są bardzo skomplikowane i dlatego uznał za celowe sporządzenie tabelki z wynikami dla kilkunastu najprostszych przypadków. Z tej tabelki można się dowiedzieć, że dla problemu Paciolego właściwym rozwiązaniem jest podział nagrody w proporcji 451:195:83 czyli uczestnicy powinni otrzymać w przybliżeniu kolejno: 62%, 27% i 11% puli, co zdecydowanie różni się od zaproponowanego przez Paciolego podziału w stosunku 4:3:2.