Home | Felietony | Polimino

Polimino

❍ Reading Time: 4 minutes   
 

Co łączy takie gry, jak Książęta Florencji, Wyspa Kotów, Patchwork i Ubongo? Wszystkie te gry (i jeszcze ponad 200 innych) wykorzystują figury geometryczne zwane po angielsku polyominoes. Jaki jest polski odpowiednik tego słowa? Jeszcze nie wiadomo. Spotkałem się z nazwami polimino, poliomino i wielomino. A jak to wygląda w innych językach? W niemieckim, francuskim i holenderskim używa się angielskiej nazwy polyomino, we włoskim, portugalskim, rosyjskim, ukraińskim i estońskim – polimino, a w hiszpańskim poliomino. Najdziwniejsza jest nazwa plurkvadrato w języku esperanto.

Pojęcia „polyomino” jako pierwszy użył w 1953 roku Solomon Golomb jako uogólnienia  złożonego z dwóch sklejonych kwadratów prostokąta, używanego w grze domino. Polimino n-tego rzędu to n sklejonych ze sobą w taki sposób kwadratów, że krawędzie sąsiednich pokrywają się ze sobą. Jak łatwo zauważyć, domino czyli dwa kwadraty można złączyć ze sobą tylko na jeden sposób, a uzyskaną w ten sposób figurę ułożyć na prostokątnej siatce na dwa sposoby – poziomo i pionowo.

W przypadku trzech kwadratów mamy już dwie możliwości – prostokąt i kątownik. Prostokąt można ustawić na dwa sposoby, a kątownik ma 4 orientacje. Ale nadal nie widać tu nic specjalnie interesującego.

Ciekawiej wygląda sytuacja w przypadku tetromina. Tu mamy już 5 różnych figur. Ale jak ktoś grał w Tetrisa (a jest ktoś, kto nie grał?), to zapewne pamięta sytuacje, w których figura pasowałaby idealnie, gdy dało się ją „odwrócić na lewą stronę”. Dotyczy to dwóch figur, oznaczonych na obrazku na pomarańczowo i zielono. Ale między tymi dwoma figurami jest istotna różnica – pomarańczowa ma 8 orientacji, a zielona tylko 4, bo obrót o 180 stopni nie zmienia orientacji albo raczej dwie orientacje pokrywają się ze sobą.

Najciekawszym poliminem jest zapewne złożone z 5 kwadratów pentomino. Pięć czy nawet siedem kamieni tetromina to trochę za mało, by dało się stworzyć ciekawe zadania, a w dodatku ani z dwustronnego ani jednostronnego zestawu tetromina nie da się np. zbudować prostokąta. Co innego oczywiście dynamiczny tetris ale tu mam na myśli statyczną łamigłówkę. A 12 kamieni pentomina daje już bardzo dużo możliwości. Klasyczne zadanie to oczywiście zbudowanie prostokąta. Prostokąt 3×20 można zbudować na dwa sposoby, 4×15 na 368, 5×12 na 1010, a 6×10 aż na 2339 sposobów ale to nie znaczy, że łatwo to zrobić. Podane liczby dotyczą rozwiązań istotnie różnych tzn. wykluczają obroty i odbicia lustrzane. W książkach np. [1] i [2] a także na różnych stronach internetowych można znaleźć setki a może nawet tysiące różnych zadań tzn. obrazków, które można zbudować z kompletu pentomina.

Ale pentomino to również dwuosobowa gra, polegająca na układaniu kamieni na kwadratowej planszy 8×8. Gracze korzystają ze wspólnego zestawu elementów i układają je na planszy tak, aby na siebie nie zachodziły. Wygrywa ten, kto jako ostatni położy kamień czyli innymi słowy uniemożliwi przeciwnikowi dołożenie jakiegokolwiek kamienia. 

W tabelce przedstawione są podstawowe informacje o zestawach polimin kolejnych rozmiarów.

 

n Nazwa Liczba Liczba  Liczba
dwustronnych jednostronnych orientacji
1 Monomino 1 1 1
2 Domino 1 1 2
3 Tromino 2 2 6
4 Tetromino 5 7 19
5 Pentomino 12 18 63
6 Heksomino 35 60 216
7 Heptomino 108 196 760
8 Oktomino 369 704 2 725
9 Nonomino 1 285 2 500 9 910
OEIS A000105 A000988 A001168

  

Jak widać zestaw heksomina ma 35 elementów, a heptomina 108. To już trochę za dużo, żeby dało się z tego zrobić zgrabną łamigłówkę. Jak kogoś interesują dane dla jeszcze większych zestawów, to może je znaleźć na podstawie podanych w ostatnim wierszu symboli (np. A000105), oznaczających numery odpowiednich ciągów w bazie OEIS. 

Na wstępie napisałem, że nazwę polyomino stworzył Solomon Golomb. Nie oznacza to, że to właśnie on wymyślił polimino. Pierwsza łamigłówka, wykorzystująca pentomino została opublikowana w roku 1907. W latach 30-tych XX wieku łamigłówki pentominowe pojawiały się w angielskim czasopiśmie szachowym. Jednak podobnie jak w wielu innych przypadkach, pierwsi byli Chińczycy, którzy wymyślili pentomino już 2 tysiące lat temu i to w kontekście planszówkowym. Starożytni chińscy gracze w go zauważyli, że spójny układ 5 kamieni można utworzyć na 12 sposobów.

W grach mogą być wykorzystywane polimina różnych rzędów. Np. zestaw w grze Blokus to wszystkie 21 polimin od rzędu 1 do 5. W Ubongo używa się 12 kamieni – od domina poprzez tromino i tetromino do niektórych elementów pentomina.

Zestaw do gry Ubongo

Podobnie jest w grze Kopenhaga – największymi elementami są pentomina ale nie wszystkie są używane. Natomiast w grze  Wyspa Kotów występują niektóre heksomina, a w grze Patchwork nawet heptomina. Trochę „na odwrót” kwestia polimina została rozwiązana w grze Kartografowie. W zestawie nie ma polimin ale gracze je w trakcie rozgrywki rysują. 

Oczywiście poliformy można tworzyć nie tylko z kwadratów ale również z trójkątów równobocznych i sześciokątów foremnych. Recenzowana niedawno na Games Fanatic gra Akropolis ma właśnie żetony w kształcie poliheksów.

Polimina to płaskie figury zbudowane z kwadratów. Trójwymiarowym ich odpowiednikiem są polycubes czyli polisześciany albo może polikubiki. Polikubiki złożone z dwóch lub trzech sześcianów odpowiadają dokładnie płaskim poliminom. Trzeci wymiar zaczyna odgrywać rolę dopiero w przypadku tetrakubików.

Jak widać na obrazku, pierwsze 5 tetrakubików odpowiada dokładnie pięciu tetrominom czyli są to w istocie „bryły płaskie”. Warto natomiast zwrócić uwagę na dwie ostatnie bryły. Są one nawzajem odbiciem lustrzanym ale nie ma możliwości, żeby przez obracanie z jednej z nich otrzymać drugą. Można więc powiedzieć, że są to bryły chiralne. (Przymiotnik „chiralny” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego rękę, bo właśnie taki geometryczny związek jest między lewą a prawą dłonią.)

Sześć tetrakubików (wszystkie poza dwoma środkowymi) i jeden polikubik, złożony z trzech sześcianów tworzą łamigłówkę Soma Cube, której autorem jest duński architekt i poeta Piet Hein. Jej podstawowym zadaniem jest zbudowanie sześcianu. Można to zrobić na 240 sposobów ale wcale nie jest to łatwe. Z elementów kostki można również zbudować wiele innych konstrukcji http://web.inter.nl.net/users/C.Eggermont/Puzzels/Soma/overzicht.html

Pentakubików jest w sumie 29. Dwanaście z nich to pentomina, kolejne 12 to sześć par brył chiralnych. Pozostałe pięć ma płaszczyznę symetrii. Pentakubiki można wykorzystać do zbudowania kostki 4x4x4. Jest kilka wersji takiej łamigłówki: Bedlam Cube z 12 pentakubików (w tym trzech płaskich) i jednego tetrakubika, Abraxis również z 12 pentakubików ale samych przestrzennych i jednego tetrakubika oraz Tetris Cube z 4 heksakubików i 8 pentakubików.

Jedyną chyba grą z polikubikami jest Ubongo 3D. Zadaniem gracza jest zbudowanie dwuwarstwowej konstrukcji z trzech do sześciu polikubików, z których największymi są pentakubiki.

Przestrzenne konstrukcje można budować z samych płaskich polikubików. Np. z zestawu 12 pentakubików, stanowiącego odpowiednik zestawu 12 pentomin, można zbudować prostopadłościan 5x4x3. Podobnie jest w przypadku łamigłówek z serii Stax, np. Cat Stax. „Kotokoształtne” elementy tej łamigłówki są geometrycznymi odpowiednikami płaskich polimin, składających się z sześcianów w liczbie dwóch do dziesięciu. A zadania w tej łamigłówce polegają na zbudowaniu konstrukcji, składających się nawet z czterech warstw i niektóre koty trzeba umieścić w kilku warstwach.

  1. Robert Hardy „Gry w figury”, Krajowa Agencja Wydawnicza, Warszawa 1983.
  2. Zdzisław Nowak „Pentomina i tangramy”, Wydawnictwo Harcerskie „Horyzonty”, Warszawa 1971.

One comment

  1. Maciek

    Nawet nie musiałem sprawdzać autora i wiedziałem po jakości, że jest to Michał Stajszczak. Dziękuje za kolejny ciekawy felieton.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active
wordpress_test_cookie

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings