Home | Felietony | Matematyka w grach – Teoria wieży cz.3

Matematyka w grach – Teoria wieży cz.3

❍ Reading Time: 3 minutes   
 

W poprzednim odcinku opisałem, jak działa wieża podczas przygotowania gry. Teraz chciałbym zająć się analizą działania wieży w trakcie rozgrywki. Przypominam, że rozgrywka Amerigo składa się z 5 rund, a każda runda z 7 faz. Każda faza gry rozpoczyna się wrzuceniem do wieży wszystkich leżących na planszy kostek jednego koloru. Jaki to kolor, zależy od numeru fazy. Można więc powiedzieć, że po początkowym wrzuceniu do wieży wszystkich kostek, następuje 35 zdarzeń, polegających na wrzuceniu do wieży od 0 do 7 kostek. Oczywiście „wrzucenie zera kostek” oznacza, że w danej fazie wrzucenie kostek nie następuje, bo na planszy nie ma ani jednej kostki w kolorze, na który przypada kolej. Jest to zdarzenie możliwe, choć bardzo rzadkie.

Jeżeli, tak jak pisałem w poprzednim odcinku, liczbę kostek, które pozostały w wieży po początkowym wrzuceniu wszystkich, można opisać zmienną losową, to liczbę kostek w wieży w kolejnych fazach gry można uważać za proces losowy, czyli, bardziej naukowo, proces stochastyczny. Zaś liczbę kostek w wieży podczas kolejnych faz jednej partii za realizację tego procesu. Na wykresie pokazane zostało kilka takich realizacji czyli zapis kilku przykładowych partii.

Wykres 3

Wykres 3

Przeprowadziłem symulację 20 rozgrywek Amerigo. Dlaczego tylko 20? Jak zauważyli komentatorzy, takie badania są dość czasochłonne. Przeprowadzenie symulacji użycia wieży w jednej partii, czyli wrzucenie do wieży najpierw wszystkich kostek, a następnie 35-krotne wrzucanie kilku kostek i rejestrowanie za każdym razem wyników zajmuje ok. pół godziny. A więc 20 rozgrywek to około 10 godzin, podczas których do wieży wrzuconych było blisko 5 tysięcy kostek. Zresztą moim celem nie było uzyskanie bardzo dokładnej charakterystyki wieży, tylko pokazanie, jakie informacje można z takich badań uzyskać. Pierwsza rzecz, jaką można zrobić, to policzenie średniej liczby kostek w wieży w funkcji czasu, odmierzanego numerami kolejnych faz gry. Wyniki przedstawia poniższy wykres.

Wykres 4

Wykres 4

Jak widać na wykresie, średnia liczba kostek w wieży ulega niewielkim zmianom. Zapewne, gdyby przeprowadzić symulację większej liczby rozgrywek, krzywa na wykresie byłaby jeszcze bardziej płaska. Czyli nie potwierdziły się spostrzeżenia, przedstawione w dyskusji na forum przed ponad rokiem, że w trakcie rozgrywki kostek w wieży systematycznie ubywa. Poniższa tabelka pokazuje, o ile zmieniała się liczba kostek w wieży w kolejnych fazach gry.

Zmiana liczby kostek w wieży -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Liczba zdarzeń 3 8 35 72 152 167 138 89 29 7
Udział procentowy 0,4% 1,1% 5,0% 10,3% 21,7% 23,9% 19,7% 12,7% 4,1% 1,0%

 

Najczęściej tyle samo kostek wypadało, co było do niej wrzucanych, ewentualnie liczby te różniły się o 1 albo na plus albo na minus. Warto może zwrócić uwagę na przypadki skrajne. Trzy razy z wieży wypadło o 5 kostek więcej niż zostało do niej wrzuconych. Okazało się jednak, że było to następstwo tego, że w poprzednich fazach kostki się w wieży gromadziły – w dwóch przypadkach w trzech poprzednich fazach przybyło w wieży 5 kostek, a w trzecim przypadku 3. Z kolei po przyroście liczby kostek o 4, w 5 z 7 przypadków w następnej fazie liczba kostek w wieży spadła, a tylko raz wzrosła.

Zrobiłem również statystykę liczby kostek wrzucanych i tych, które z wieży wypadły. Okazało się, że najczęściej wrzucałem 6 kostek, a 5 kostek częściej niż 7. Czyli trochę inaczej niż w podlinkowanym w poprzednim odcinku filmie vestera, gdzie za każdym razem wrzucane było 6 lub 7 kostek. Ani razu nie zdarzyło się, bym wrzucał tylko jedną kostkę albo by nie było żadnej do wrzucenia i tylko w 5 przypadkach na 700 wrzucałem dwie kostki. Nie zdarzyła się też konieczność wrzucania więcej niż 7 kostek. Wprawdzie kostek w każdym kolorze jest 7, ale podczas rozgrywki, poza chwilą wrzucania, mogą jakieś kostki z wieży wypaść (bo np. ktoś przypadkowo poruszył stół) i wtedy przy najbliższej okazji wrzuca się je razem z kolorem, na który przypada kolej. Podczas rozgrywki takie sytuacje się zdarzają ale w warunkach laboratoryjnych raczej nie :).

Wypadało z wieży też najczęściej 6 kostek, ale 3 razy wypadła tylko jedna kostka i również 3 razy kostek 11. Zbiorczą statystykę liczby kostek wrzucanych i wypadających z wieży przedstawia wykres.

Wykres 5

Wykres 5

A jaki był rozkład kolorów kostek w wieży, tzn. w ilu kolorach kostki w wieży pozostawały i ile było kostek w kolorze, który był najliczniej reprezentowany? Okazało się, że zawsze były co najmniej 4 kolory, a gdy kostek zostało 14 lub więcej, kolorów było nie mniej niż 5. Ani razu nie zdarzyło się, by w wieży pozostały wszystkie kostki jednego koloru. W najczęstszych przypadkach, gdy w wieży było od 10 do 15 kostek, w najliczniejszym kolorze były zazwyczaj 3 lub 4, chociaż czasami 5 lub nawet 6. Wprawdzie liczba danych była zbyt mała, by móc wyciągnąć w miarę precyzyjne wnioski co do rozkładu tych wartości, ale spróbowałem porównać wyniki eksperymentu z podanymi w poprzednim odcinku wynikami teoretycznymi dla 15 kostek w wieży.

 

Liczba kolorów Kostek w najliczniejszym kolorze
3 4 5 6 7 3 4 5 6 7
Test 0,0% 0,0% 2,7% 40,0% 57,3% 28,0% 56,0% 13,3% 2,7% 0,0%
Teoria 0,0% 0,1% 4,1% 35,4% 60,4% 32,5% 52,6% 13,5% 1,4% 0,0%

 

Jak widać, są pewne różnice między wynikami eksperymentu, a wartościami policzonymi na podstawie wzorów kombinatorycznych, ale jakościowo wyniki są zgodne, tzn. gdyby uporządkować je od największego do najmniejszego, to kolejność byłaby taka sama. To wszystko na temat kostek, które pozostały w wieży. W następnym odcinku sprawa istotniejsza dla gracza: jakie kostki z wieży wypadły.

7 komentarzy

  1. Andy

    Ciekawe jaki będzie ogólny wniosek z tych analiz :)

  2. RAJ

    Ile czasu zajęły Ci wszystkie testy i wyliczenia związane z tymi analizami?

    • MichalStajszczak

      Sporo :) Na pewno kilkadziesiąt godzin, a może nawet więcej niż kilkadziesiąt. Nie jestem w stanie dokładnie tego okreslić, bo robiłem te badania bez jakiegos ścisłego harmonogramu, lecz raczej wtedy, gdy miałem czas i natchnienie

  3. Avatar

    Nie wiem czemu, ale nie działają „linki” do poprzednich części (wyświetla się pusta strona). Pozostałe artykuły wyświetlają się poprawnie.

    • Ink

      Chodzi o te linki w sekcji „Powiązane artykuły”? Sprawdziłem w tym momencie, u mnie zadziałały. Może trzeba odświeżyć docelową stronę?

      • Avatar

        Odświeżanie nie pomagało, nie dało się otworzyć artykułu z głównej strony ani przez tagi. Na szczęście teraz działa. Widać taka chwilowa złośliwość serwera :)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings