Matematyka w grach – Teoria wieży cz.3 Ten tekst przeczytasz w 4 minut

W poprzednim odcinku opisałem, jak działa wieża podczas przygotowania gry. Teraz chciałbym zająć się analizą działania wieży w trakcie rozgrywki. Przypominam, że rozgrywka Amerigo składa się z 5 rund, a każda runda z 7 faz. Każda faza gry rozpoczyna się wrzuceniem do wieży wszystkich leżących na planszy kostek jednego koloru. Jaki to kolor, zależy od numeru fazy. Można więc powiedzieć, że po początkowym wrzuceniu do wieży wszystkich kostek, następuje 35 zdarzeń, polegających na wrzuceniu do wieży od 0 do 7 kostek. Oczywiście „wrzucenie zera kostek” oznacza, że w danej fazie wrzucenie kostek nie następuje, bo na planszy nie ma ani jednej kostki w kolorze, na który przypada kolej. Jest to zdarzenie możliwe, choć bardzo rzadkie.

Jeżeli, tak jak pisałem w poprzednim odcinku, liczbę kostek, które pozostały w wieży po początkowym wrzuceniu wszystkich, można opisać zmienną losową, to liczbę kostek w wieży w kolejnych fazach gry można uważać za proces losowy, czyli, bardziej naukowo, proces stochastyczny. Zaś liczbę kostek w wieży podczas kolejnych faz jednej partii za realizację tego procesu. Na wykresie pokazane zostało kilka takich realizacji czyli zapis kilku przykładowych partii.

Przeprowadziłem symulację 20 rozgrywek Amerigo. Dlaczego tylko 20? Jak zauważyli komentatorzy, takie badania są dość czasochłonne. Przeprowadzenie symulacji użycia wieży w jednej partii, czyli wrzucenie do wieży najpierw wszystkich kostek, a następnie 35-krotne wrzucanie kilku kostek i rejestrowanie za każdym razem wyników zajmuje ok. pół godziny. A więc 20 rozgrywek to około 10 godzin, podczas których do wieży wrzuconych było blisko 5 tysięcy kostek. Zresztą moim celem nie było uzyskanie bardzo dokładnej charakterystyki wieży, tylko pokazanie, jakie informacje można z takich badań uzyskać. Pierwsza rzecz, jaką można zrobić, to policzenie średniej liczby kostek w wieży w funkcji czasu, odmierzanego numerami kolejnych faz gry. Wyniki przedstawia poniższy wykres.

Jak widać na wykresie, średnia liczba kostek w wieży ulega niewielkim zmianom. Zapewne, gdyby przeprowadzić symulację większej liczby rozgrywek, krzywa na wykresie byłaby jeszcze bardziej płaska. Czyli nie potwierdziły się spostrzeżenia, przedstawione w dyskusji na forum przed ponad rokiem, że w trakcie rozgrywki kostek w wieży systematycznie ubywa. Poniższa tabelka pokazuje, o ile zmieniała się liczba kostek w wieży w kolejnych fazach gry.

Zmiana liczby kostek w wieży	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Liczba zdarzeń	3	8	35	72	152	167	138	89	29	7
Udział procentowy	0,4%	1,1%	5,0%	10,3%	21,7%	23,9%	19,7%	12,7%	4,1%	1,0%

 

Najczęściej tyle samo kostek wypadało, co było do niej wrzucanych, ewentualnie liczby te różniły się o 1 albo na plus albo na minus. Warto może zwrócić uwagę na przypadki skrajne. Trzy razy z wieży wypadło o 5 kostek więcej niż zostało do niej wrzuconych. Okazało się jednak, że było to następstwo tego, że w poprzednich fazach kostki się w wieży gromadziły – w dwóch przypadkach w trzech poprzednich fazach przybyło w wieży 5 kostek, a w trzecim przypadku 3. Z kolei po przyroście liczby kostek o 4, w 5 z 7 przypadków w następnej fazie liczba kostek w wieży spadła, a tylko raz wzrosła.

Zrobiłem również statystykę liczby kostek wrzucanych i tych, które z wieży wypadły. Okazało się, że najczęściej wrzucałem 6 kostek, a 5 kostek częściej niż 7. Czyli trochę inaczej niż w podlinkowanym w poprzednim odcinku filmie vestera, gdzie za każdym razem wrzucane było 6 lub 7 kostek. Ani razu nie zdarzyło się, bym wrzucał tylko jedną kostkę albo by nie było żadnej do wrzucenia i tylko w 5 przypadkach na 700 wrzucałem dwie kostki. Nie zdarzyła się też konieczność wrzucania więcej niż 7 kostek. Wprawdzie kostek w każdym kolorze jest 7, ale podczas rozgrywki, poza chwilą wrzucania, mogą jakieś kostki z wieży wypaść (bo np. ktoś przypadkowo poruszył stół) i wtedy przy najbliższej okazji wrzuca się je razem z kolorem, na który przypada kolej. Podczas rozgrywki takie sytuacje się zdarzają ale w warunkach laboratoryjnych raczej nie :).

Wypadało z wieży też najczęściej 6 kostek, ale 3 razy wypadła tylko jedna kostka i również 3 razy kostek 11. Zbiorczą statystykę liczby kostek wrzucanych i wypadających z wieży przedstawia wykres.

A jaki był rozkład kolorów kostek w wieży, tzn. w ilu kolorach kostki w wieży pozostawały i ile było kostek w kolorze, który był najliczniej reprezentowany? Okazało się, że zawsze były co najmniej 4 kolory, a gdy kostek zostało 14 lub więcej, kolorów było nie mniej niż 5. Ani razu nie zdarzyło się, by w wieży pozostały wszystkie kostki jednego koloru. W najczęstszych przypadkach, gdy w wieży było od 10 do 15 kostek, w najliczniejszym kolorze były zazwyczaj 3 lub 4, chociaż czasami 5 lub nawet 6. Wprawdzie liczba danych była zbyt mała, by móc wyciągnąć w miarę precyzyjne wnioski co do rozkładu tych wartości, ale spróbowałem porównać wyniki eksperymentu z podanymi w poprzednim odcinku wynikami teoretycznymi dla 15 kostek w wieży.

 

	Liczba kolorów					Kostek w najliczniejszym kolorze
	3	4	5	6	7	3	4	5	6	7
Test	0,0%	0,0%	2,7%	40,0%	57,3%	28,0%	56,0%	13,3%	2,7%	0,0%
Teoria	0,0%	0,1%	4,1%	35,4%	60,4%	32,5%	52,6%	13,5%	1,4%	0,0%

 

Jak widać, są pewne różnice między wynikami eksperymentu, a wartościami policzonymi na podstawie wzorów kombinatorycznych, ale jakościowo wyniki są zgodne, tzn. gdyby uporządkować je od największego do najmniejszego, to kolejność byłaby taka sama. To wszystko na temat kostek, które pozostały w wieży. W następnym odcinku sprawa istotniejsza dla gracza: jakie kostki z wieży wypadły.