Home | Felietony | Matematyka w grach – Teoria wieży cz.2

Matematyka w grach – Teoria wieży cz.2

❍ Reading Time: 6 minutes   
 

Zanim zacznę zapowiadaną w poprzednim odcinku statystyczną analizę wieży, przedstawię w skrócie zasady gry Amerigo, oczywiście tylko te, które mają bezpośredni związek z wieżą. W grze używa się 49 kostek w 7 kolorach. Przed rozpoczęciem rozgrywki do wieży wrzuca się jednocześnie wszystkie 49 kostek. Kostki, które wypadły z wieży, układa się na planszy według kolorów. Gra składa się z 5 rund, a każda runda z 7 faz.  Każda faza rozpoczyna się wrzuceniem do wieży wszystkich leżących na planszy kostek odpowiedniego koloru. W pierwszej fazie są to kostki niebieskie, następnie czarne, czerwone, brązowe, zielone, żółte i białe. Kostki, które wypadły z wieży, określają liczbę i rodzaj akcji, możliwych do wykonania w danej fazie rozgrywki, a po zakończeniu fazy dołączane są do leżących na planszy.

Odpowiedź na pytanie „jak działa wieża?” sprowadza się do odpowiedzi na kilka pytań szczegółowych, przedstawiających różne aspekty tego działania. Może nie wszystkie z nich są bardzo istotne dla graczy, ale z pewnością są istotne dla projektanta, bo pozwalają na zbadanie, na ile działanie wieży jest zgodne z przyjętymi założeniami. A oto lista pytań, na które, moim zdaniem, warto odpowiedzieć, analizując działanie wieży:

  1. Ile kostek spośród wrzuconych na początku zostaje w wieży?
  2. Jaki jest rozkład kolorów tych kostek?
  3. Jak zmienia się liczba kostek w wieży w trakcie rozgrywki?
  4. Ile kostek wypada z wieży w jednej fazie?
  5. Czy i jak to zależy od liczby kostek wrzuconych?
  6. Ile z kostek właśnie wrzuconych wypada z wieży?
  7. Ile różnych kolorów kostek wypada z wieży?

W poprzednim odcinku pisałem o tym, że kostka nie spada swobodnie, ale w momencie zetknięcia z płaszczyzną piętra porusza się w sposób bardziej złożony – może mieć różną od zera składową poziomą prędkości oraz niezerową prędkość kątową. Dla sprawdzenia tej hipotezy przeprowadziłem prosty eksperyment – 100 razy wrzuciłem do wieży pojedynczą kostkę. Gdyby kostka spadała pionowo, to, ponieważ na górnym piętrze powierzchnia zajmowana przez tekturę jest nieco większa niż powierzchnia otworów, w przeszło połowie prób kostka powinna zatrzymać się na górnym piętrze, a jeśli spadła niżej, to powinna być też duża szansa, że zatrzyma się na piętrze dolnym i z wieży nie wypadnie. Eksperyment dał jednak rezultat odwrotny – tylko 30 kostek zatrzymało się w wieży, a 70 z niej wypadło. Potwierdza to spostrzeżenie graczy, że „to co wpada do wieży, wylatuje z niej”, ale nie do końca, bo jednak nie wypadają wszystkie wrzucone kostki.

Jak ten wynik eksperymentu przekłada się na liczbę kostek, które pozostają w wieży po wrzuceniu do niej przed rozpoczęciem rozgrywki wszystkich 49? 30% z 49 to 14,7 czyli około 15 kostek powinno zatrzymać się na obu piętrach wieży. W przykładzie podanym w instrukcji gry, w wieży pozostało kostek 21, natomiast w eksperymencie, który przeprowadził vester, w wieży zostało ich tylko 7.  Z mojego eksperymentu można wnioskować, że prawda leży gdzieś pośrodku. Jednak w statystyce prawda nie tyle leży, co raczej „rozkłada się” tzn. wynikiem badania statystycznego jest w tym przypadku rozkład zmiennej losowej. Żeby taki rozkład uzyskać, 300 razy wrzuciłem 49 kostek do wieży i za każdym razem policzyłem, ile kostek w wieży zostało. Wynik tego eksperymentu pokazany jest na wykresie.

Wykres 1

Wykres 1

Na osi poziomej zaznaczone są liczby kostek, które pozostały w wieży. Wysokość każdego słupka jest proporcjonalna do liczby rzutów, po których dana liczba kostek w wieży pozostała. Jak widać z wykresu, w wieży pozostawało od 6 do 25 kostek, choć najczęściej było ich od 13 do 17. Oczywiście to są wyniki uzyskane przy użyciu wieży z mojego egzemplarza gry i przy użyciu mojej ręki do wrzucania kostek. Być może, gdyby kto inny wrzucał kostki i wieża pochodziła z innego pudełka Amerigo, wyniki byłyby nieco inne. Niemniej jednak można zauważyć, że zarówno 7 jak i 21 kostek mnie też udało się w wieży pozostawić, aczkolwiek niezbyt często się to zdarzało.

Jak wcześniej napisałem, celem mojego eksperymentu było uzyskanie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej, którą jest liczba kostek, pozostających w wieży. Co to jest rozkład prawdopodobieństwa, pokażę najpierw na prostszym przykładzie. Wyobraźmy sobie, że rzucamy 300 razy symetryczną kostką k6 i po każdym rzucie zapisujemy liczbę oczek. Jeżeli narysujemy słupki, o wysokości proporcjonalnej do liczby rzutów, w których wypadło jedno oczko, dwa oczka itd., to uzyskamy wykres w postaci sześciu słupków mniej więcej równego wzrostu. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej liczby oczek jest takie samo. A teraz wykonajmy serię rzutów dwiema kostkami i zanotujmy za każdym razem sumę liczby oczek na obu kostkach. Słupków będzie w tym przypadku 11 i będą one odpowiadały liczbom oczek od 2 do 12. Najwyższy będzie słupek przy sumie oczek 7, a kolejne słupki w lewo i w prawo będą coraz niższe, a to dlatego, że sumę oczek 2 można uzyskać tylko jednym sposobem – na obu kostkach musi być jedno oczko. Podobnie jest z sumą oczek 12, która wymaga wyrzucenia dwóch szóstek, zaś sposobów uzyskania sumy 7 jest łącznie 6.

A jak jest w przypadku wieży? Może w niej pozostać od 0 do 49 kostek, a więc takie wartości może przyjmować nasza zmienna losowa. W rzeczywistości, co widać na wykresie, zakres ten jest znacznie węższy. Wysokości słupków odpowiadają prawdopodobieństwom uzyskania danych liczb kostek. Np. 11 kostek pozostało w wieży 21 razy, a zatem prawdopodobieństwo, że tyle kostek w wieży zostanie, jest równe 21/300 = 0,07 czyli 7%. Mając rozkład empiryczny, możemy policzyć jego parametry statystyczne, przede wszystkim wartość średnią i wariancję. Okazuje się, że wartość średnia liczby kostek, które pozostały w wieży, jest równa ok. 14,55; zaś wariancja, czyli miara rozproszenia wokół średniej, wynosi ok. 14,05. Spróbujmy teraz dopasować do tego rozkładu empirycznego rozkład teoretyczny. Niech to będzie rozkład Poissona. Dlaczego akurat ten rozkład? Po pierwsze dlatego, że wartość wariancji w naszym rozkładzie jest zbliżona do wartości średniej, a w rozkładzie Poissona są sobie równe. Po drugie wskazuje na to układ wysokości słupków. Żeby sprawdzić dopasowanie obu rozkładów, najlepiej umieścić je na jednym wykresie. Na rysunku poniżej ciemniejszym kolorem oznaczone są rzeczywiste wyniki eksperymentu, a jaśniejszym rozkład teoretyczny, czyli rozkład Poissona z parametrem λ=14,5.

Wykres 2

Wykres 2

Jak widać na wykresie, zgodność rozkładu eksperymentalnego z rozkładem teoretycznym jest całkiem dobra i wygląda na to, że mamy właściwy opis zjawiska. Niestety, aż tak dobrze nie jest. Jak już pisałem, wrzuciłem kostki do wieży 300 razy. Ale to wrzucanie i zapisywanie wyników trochę czasu zajmuje, więc nie zrobiłem tego za jednym zamachem, tylko w kilku etapach i miałem osobno zapisane wyniki pierwszych 100 i kolejnych 200 wrzutów. Okazało się, że średnia z pierwszych 100 wrzutów wynosi 12,77, natomiast z kolejnych 200 – 15,45. Rozkłady mają podobny kształt, ale pierwsza seria jest położona bardziej w lewo. Zrobiłem więc kolejną serię wrzutów. Tym razem średnia była jeszcze wyższa – 17,5 i najczęściej w wieży pozostawało 18 kostek, aczkolwiek zdarzało się też, że zostało ich tylko 6 albo 7. Nasuwa się więc wniosek, że wieża w kolejnych grach może przechowywać średnio coraz więcej kostek. Z czego to wynika, nie potrafię powiedzieć. Ale zwracam uwagę na to, że vester nagrał swój film krótko po rozpakowaniu gry, a autor zapewne jakiś czas z wieży korzystał, zanim przygotował zamieszczony w instrukcji przykład i być może stąd też ta różnica w wynikach. Podejrzewam też, że osoby, które narzekały na forum na „nadmierną  przepustowość wieży”, rozegrały zbyt mało partii. Może po 300 rozgrywkach zmieniłyby zdanie ;)

Interesujące może być nie tylko to, ile kostek pozostało w wieży, ale także jaki jest rozkład kolorów tych kostek. Oczywiście można to sprawdzić eksperymentalnie, czyli przeprowadzić odpowiednią liczbę „wrzutów” kostek do wieży. Jaka liczba byłaby odpowiednia? Niestety bardzo duża. W moim eksperymencie wrzucałem kostki 300 razy i nawet te najczęściej zdarzające się liczby kostek były na poziomie 30 wystąpień, czyli do jako takiego zbadania rozkładów kolorów dla tych przypadków, trzeba by kostki wrzucać kilka tysięcy razy. A co dopiero w przypadku liczb z „ogonów” rozkładu. Można to jednak zrobić inaczej, metodami kombinatorycznymi. Trzeba tylko przyjąć dość naturalne założenie, że „wieża nie rozróżnia kolorów kostek”, tzn. kostka każdego koloru ma taką samą szansę na pozostanie w wieży podczas początkowego wrzucenia wszystkich 49.

Załóżmy, że w wieży pozostało 14 kostek. Na ile sposobów można z 49 kostek wybrać 14? Określa to wzór na liczbę kombinacji bez powtórzeń czyli dwumian Newtona. Konkretnie jest to 675248872536.  Jakie są szanse na to, że wśród tych 14 kostek będzie po 7 w dwóch kolorach? Takich zdarzeń jest 21, czyli raz na 30 miliardów zdarzeń, w których w wieży pozostało 14 kostek, będą to kostki w dwóch tylko kolorach. A teraz przenieśmy się na drugi biegun: jaka jest szansa, że w wieży zostaną po dwie kostki każdego z 7 kolorów? Tu prawdopodobieństwo jest znacznie większe i wynosi 0,27%. Jakie rozkłady kolorów występują najczęściej? Okazuje się, że 3322211 – 17,29%, 4322111 – 11,53% i 432221 – 9,88%. Wszystkich wyników szczegółowych podawać oczywiście nie będę. Myślę, że ciekawsze będą wyniki skumulowane, które zebrałem w dwóch tabelkach. Pierwsza z nich zawiera prawdopodobieństwa liczb różnych kolorów, w których kostki pozostały w wieży, dla kilku wartości łącznej liczby kostek. Jeżeli w jakiejś rubryce jest liczba 0,00% to oznacza, że wartość, która tam występuje jest bardzo mała, natomiast pozioma kreska oznacza zdarzenie niemożliwe, bo jak w wieży zostało 15 kostek, to muszą być w więcej niż dwóch kolorach.

 

2 3 4 5 6 7
11 0,00% 0,04% 2,41% 22,59% 50,27% 24,69%
12 0,00% 0,01% 1,11% 15,60% 49,33% 33,95%
13 0,00% 0,00% 0,49% 10,33% 45,90% 43,29%
14 0,00% 0,00% 0,21% 6,59% 40,99% 52,21%
15 ——– 0,00% 0,08% 4,08% 35,43% 60,41%

 

Druga tabelka zawiera prawdopodobieństwa maksymalnych liczb kostek w jakimś kolorze, czyli inaczej mówiąc przedstawia szansę na to, że w kolorze, którego zostało w wieży najwięcej, jest tyle właśnie kostek.

 

2 3 4 5 6 7
11 12,13% 63,03% 22,04% 2,65% 0,14% 0,00%
12 5,21% 60,56% 29,66% 4,29% 0,28% 0,01%
13 1,60% 53,50% 37,80% 6,58% 0,50% 0,01%
14 0,27% 43,49% 45,73% 9,63% 0,86% 0,03%
15 ——– 32,48% 52,57% 13,52% 1,39% 0,05%

 

Myślę, że na tym można zakończyć statystyczny opis przygotowania wieży do gry. W następnym odcinku zajmę się działaniem wieży w trakcie rozgrywki.

 

7 komentarzy

  1. Ink

    Zacny, zacny tekst. Świetna robota.

  2. Andy

    „300 razy wrzuciłem 49 kostek do wieży” – imponujące poświęcenie dla nauki! ;) Nie powiem żebym wszystko z tych wyliczeń zrozumiał, ale i tak jestem pod wrażeniem.

    Następny odcinek zapewne będzie przyjaźniejszy dla laika :)

  3. Odi

    „Żeby taki rozkład uzyskać, 300 razy wrzuciłem 49 kostek do wieży…”

    Panie Michale, wielki szacunek za naukowe i eksperymentatorskie zacięcie. Napracował się Pan mnóstwo, ale za to czyta się ten tekst z ogromną przyjemnością!

  4. RAJ

    Jak długo trwały testy? To naprawdę żmudna robota i wielki szacunek za poświecenie w imię nauki. :)

    Mam pewne sugestie, wyjaśniające dlaczego przepustowość wieży spada.
    1) piętra są wykonane z lakierowanej tektury – początkowo bardzo śliskiej. Jednak w wyniku uderzania kostkami na tej tekturze powstają mikrouszkodzenia. Powoduje to wzrost szorstkości i w efekcie tarcia. To samo dotyczy samych kostek, które też w wyniku mikrouszkodzeń zyskują na szorstkości.
    2) Ręce się pocą. nawet jeśli nie jest to bardzo intensywne i jakoś bardzo zauważalne to jak gracz łapie kostki w rękę, to pokrywają się one potem i kurzem. W efekcie zwiększa się ich lepkość, co powoduje, że rośnie tarcie. Dodatkowo brud z kostek jest przekazywane elementom wieży co potęguje efekt.

    I choć zasadniczo nie widzimy tego brudu i uszkodzeń, to mają one istotny wpływ na wytracanie energii przez kostki.

  5. RAJ

    Przyszła mi do głowy jeszcze jedna rzecz. Moim zdaniem im mniej kostek wrzuca się do wieży, tym większy procent z nich wypada. Wynika to z „zapełnienia” otworów przelotowych oraz większej ilości kolizji powodujących wytracenie energii (coś jak z przeciskaniem się tłumu przez drzwi – im większy tłum, tym więcej go zostaje przed drzwiami).
    Przeprowadziłeś może weryfikację pod tym kątem?

  6. Avatar

    Świetnie się czytało obie części :) Juz po lekturze pierwszej części przyszła mi do głowy pewna myśl, a wpis dokonany przez RAJ’a mnie w tym utwierdził. Technika wrzutu, kontakt kostek z dłońmi mogą mieć znaczenie (choć pytanie czy mają, czy też wieża i tak niweluje te efekty), dlatego można by to sprawdzić w prosty sposób. Jako dozownika kostek używać zwykłej „szufelki spożywczej” (taka do nakładania mnmsów na wagę).
    A mam pytanie: W jaki sposób wyciąga się z wieży kostki niewypadnięte? (Nigdy nie grałem z wieżą). Czy trzeba demontować jakieś elementy? Czy taki demontaż i ponowny montaż nie wpływa na rozkład otworów na półkach?

  7. Veridiana

    elementy z wieży się wysypuje poprzez przechylanie. niczego nie trzeba rozkładać.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings