Home | Wiadomości | Cykle | Matematyka w grach – Jak wygrać z dzieckiem w memory?

Matematyka w grach – Jak wygrać z dzieckiem w memory?

❍ Reading Time: 8 minutes   
 

memoryGrając z dziećmi w większość gier, poza oczywiście grami czysto losowymi, mamy często problem, jak zmodyfikować zasady, żeby dziecko miało jakiekolwiek szanse na zwycięstwo. Memory jest pod tym względem grą wyjątkową. Nawet przedszkolaki zazwyczaj wygrywają z dorosłymi. Dlaczego tak się dzieje? Są na ten temat różne hipotezy. Być może dzieci potrafią bardziej skupić się na rozgrywce, a dorośli są bardziej podatni na różne zewnętrzne bodźce, odwracające uwagę i dekoncentrujące? A może z mózgiem człowieka jest podobnie, jak z pamięcią komputera – dziecko ma duże bloki niczym jeszcze nie zapisane, a dorosły ma mózg „pofragmentowany” i przez to pamięć działa mniej efektywnie?   

Zanim przejdę do matematyki, kilka informacji o historii gry. Za jej twórcę uważany jest Szwajcar Heinrich Hurter, który w 1946 roku nakleił na tekturowe kwadraty powycinane z gazet i katalogów obrazki, aby w ten sposób zrobić prezent dzieciom swojego syna Williama. Po 12 latach William Hurter zaproponował wydawnictwu Ravensburger wydanie tej gry i w lutym 1959 pojawiły się w sklepach pierwsze egzemplarze memory. Od tego czasu gra produkowana jest bez przerwy i co roku pojawia się kilka nowych jej wersji, różniących się tematyką obrazków. Niektóre z nich posłużyły jako przerywniki w tym tekście.

memoryMemory jest znakiem towarowym, zarejestrowanym przez Ravensburgera, ale inne firmy wydają tę samą grę pod innymi nazwami, np. memo, memos, pamięć itp. Zresztą gra z identyczną mechaniką, ale przy użyciu zwykłej talii kart, w której parą dla siódemki trefl była siódemka pik, a parą dla damy kier – dama karo, znana była już wcześniej pod nazwą Concentration, a jeszcze wcześniej, bo w XVI wieku, w Japonii grano przy użyciu muszelek w Kai-Awase.

memoryZasady memory znają chyba wszyscy, ale dla porządku streszczę je w kilku zdaniach. Jedynymi rekwizytami w grze są kwadratowe karty z obrazkami po jednej stronie. Każda karta ma swoją parę czyli kartę z identycznym obrazkiem. (W niektórych wydaniach, zamiast identycznych obrazków, są obrazki do siebie pasujące, np. czynniki i iloczyn jak w grze Dwa razy dwa albo ten sam przedmiot w wersji z roku 1959 i 2009, jak w jubileuszowym wydaniu z podtytułem Zeitreise czyli Podróż w czasie). Karty miesza się i rozkłada na stole obrazkami do dołu. Gracz, na którego przypada kolejka, odkrywa kolejno i pokazuje wszystkim dwie karty, Jeżeli trafi parę, kładzie ją przed sobą i szuka dalej. Jeżeli nie trafi, odkłada karty z powrotem na stół, obrazkami do dołu. Gra się do momentu, gdy ze stołu zabrane zostaną wszystkie karty, a wygrywa ten, kto zebrał najwięcej par.

memoryPodobnie, jak np. w przypadku szachów, w memory można wyróżnić trzy fazy gry: debiut, grę środkową i końcówkę. Debiut to kilka pierwszych ruchów, w zasadzie czysto przypadkowych, bo rzadko kiedy odkrywane są obrazki, które już wcześniej się pojawiły. Można więc uznać tę fazę za w pełni losową. W grze środkowej szczęście nadal odgrywa pewną rolę, ale bardziej liczy się zapamiętywanie tego, gdzie leżą karty, które zostały już  przez kogoś odkryte. W obu tych fazach nie ma miejsca na strategię. O strategii można myśleć dopiero w końcówce, gdy na stole pozostało niewiele kart. I właśnie analizę końcówki, pozwalającą na dobór właściwej strategii w grze memory, przeprowadzili Uri Zwick i Michael Paterson z Uniwersytetu Warwick, Coventry, UK, a wyniki opublikowali w roku 1991 w artykule, zamieszczonym w czasopiśmie Theoretical Computer Science.

memoryOkazało się zresztą, że podobne badania przeprowadził już w roku 1983 Sabih Gerez, wówczas student Wydziału Elektrycznego holenderskiego Uniwersytetu Twente. Wprawdzie jego pracę semestralną można znaleźć w internecie, ale jest to niestety skan rękopisu i to napisanego w języku holenderskim.

O końcówce w grze memory możemy mówić wtedy, gdy na stole pozostało już niewiele kart. Oczywiście liczba tych kart musi być parzysta, możemy więc powiedzieć, ze na stole leży n par kart. Zwick i Paterson przyjęli założenie, że w grze biorą udział dwie osoby i obie mają taką samą wiedzę o leżących na stole kartach. Innymi słowy: jeżeli jeden z graczy wie, jaki obrazek jest na pewnej karcie, to drugi gracz też zna ten obrazek. Liczba znanych obrazków wynosi k, znane obrazki nie powtarzają się i zachodzą nierówności 0 ≤ k ≤ n. Popatrzmy, jak to wygląda w praktyce.

Jeżeli na stole leżą tylko dwie karty, to oczywiście muszą one stanowić jedną parę i podnosząc karty w dowolnej kolejności, gracz tę parę zabiera. Jeżeli na stole leżą cztery karty i nic o nich nie wiemy, to jest już znacznie gorzej. Gdy gracz podniesie dowolną kartę z tych czterech, a następnie jedną z trzech pozostałych, może trafić parę z prawdopodobieństwem równym 1/3. I gdy faktycznie trafi, to drugą parę też zabiera. Ale gdy nie trafi, to przeciwnik bez trudu zdobędzie obie pary. Można zatem policzyć wartość wygranej, a w zasadzie przegranej pierwszego gracza: 1/3 * 2 + 2/3 * (-2) = -2/3. Załóżmy teraz, że na stole leżą cztery karty, tym razem jednak gracz pamięta obrazek na jednej z nich. Oznaczmy ten obrazek literą A. Jeżeli odkryje jedną z trzech pozostałych i trafi na niej obrazek A, to oczywiście zabierze obie pary. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 1/3, natomiast z prawdopodobieństwem 2/3 gracz odkryje kartę z innym obrazkiem (nazwijmy go B). Na stole zostały dwie karty, więc teraz z prawdopodobieństwem ½ gracz znajdzie obrazek B i zdobędzie obie pary i również z prawdopodobieństwem ½ „spudłuje” i obie pary zdobędzie przeciwnik. Tak więc dla przypadku dwóch par i jednej znanej karty, wygrana pierwszego gracza wygląda następująco: 1/3 * 2 + 2/3 * (½   * 2 + ½ * (-2)) = 2/3. Oczywiście gdy gracz pamięta dwie karty z czterech leżących na stole, zdobywa obie pary z prawdopodobieństwem równym 1 czyli jego wygrana wynosi 2. Oznaczając przez Vn,k oczekiwaną wartość wygranej pierwszego gracza, gdy na stole jest n par kart, a gracz pamięta położenie k kart, możemy wyniki dotychczasowych obliczeń zapisać jako:

V1,0 = 1

V1,1 = 1

V2,0 = -2/3

V2,1 = 2/3

V2,2 = 2

Załóżmy, że na stole leży teraz sześć kart czyli trzy pary. Zacznijmy „od góry” czyli od sytuacji, w której gracze znają trzy spośród leżących na stole kart (więcej niż trzech pamiętanych kart być nie może, bo założyliśmy, że k ≤ n). Przy prawidłowej grze pierwszego gracza czyli odkrywaniu jako pierwszej karty nieznanej, a następnie pasującej do niej karty znanej  V3,3 = 3. W przypadku, gdy znane są dwie karty A i B, pierwszy gracz odkrywa jedną z czterech pozostałych czyli A, B, C i C. Gdy odkryje kartę A lub B (szansa na to jest ½), zabiera parę i sytuacja sprowadza się do opisanego wcześniej przypadku, gdy znana jest jedna karta z czterech. Gdy pierwszy gracz odkryje kartę C (szansa na to też jest 1/2 ), to jako drugą odkrywa jedną z trzech nieznanych kart. Z prawdopodobieństwem 1/3 może to być karta C i wtedy zdobywa wszystkie trzy pary, ale gdy nie trafi, wszystkie trzy pary zdobywa przeciwnik. A zatem:

V3,2 = ½ * (1 +V2,1) + ½ * (1/3 * 3 + 2/3 * (-3)) = 1/3.

Rozpatrzmy teraz sytuację, w której gracz zna jedną z sześciu leżących na stole kart i oznaczmy tę znaną kartę literą A. Odkrywając losowo jedną z pozostałych kart, gracz może z prawdopodobieństwem 1/5 trafić kartę A i wtedy zdobywa jedną parę, a na stole zostają cztery nieznane karty, natomiast z prawdopodobieństwem 4/5 odkrywa inną kartę niż A. Oznaczmy tę odkrytą kartę przez B. Jako drugą kartę gracz może z prawdopodobieństwem ¼ odkryć B – wtedy zdobywa parę i zna jedną kartę z czterech leżących na stole. Również z prawdopodobieństwem ¼ może odkryć kartę A i mamy sytuację odwrotną – przeciwnik zdobywa parę i zna jedną kartę z czterech. Największa jednak szansa – ½ jest na sytuację najgorszą czyli odkrycie karty C, bo wtedy przeciwnik zabiera kolejno wszystkie trzy pary. Reasumując:

V3,1 = 1/5 * (1 + V2,0 ) + 4/5 * (1/4 * V2,1 + ¼ * (-V2,1) + ½ * (-3)) = -17/15.

Ale gracz pierwszy może też zagrać inaczej. Jeżeli odkryta karta jest inna niż ta, którą pamięta, może zamiast odkrywania drugiej nieznanej wybrać tę, o której wie, że na pewno nie pasuje! Co się wtedy stanie? Do gry przystępuje wtedy drugi gracz i zna dwie karty z sześciu leżących na stole. A zatem:

V3,1 = 1/5 * (1 + V2,0 ) + 4/5 * (-V3,2) = – 1/5

Jak widać, to na pozór bezsensowne zagranie, daje pierwszemu graczowi mniejszą stratę czyli statystyczną korzyść.

Nie będę przedstawiał drobiazgowej analizy kolejnych układów. Zamiast tego podam wzory rekurencyjne, na podstawie których dla każdej liczby par n i każdej liczby znanych kart k można policzyć wartość gry dla pierwszego gracza, w zależności od przyjętej przez niego strategii.

Wzór 1Jeżeli ktoś z czytelników tego tekstu będzie miał tyle determinacji, by sprawdzić działanie powyższych wzorów, może zauważyć, że dla n=5 i k=4 oba dają wartości ujemne. Jaki z tego wniosek? Obie strategie są dla gracza niekorzystne i powinien w tej sytuacji spasować i oddać prawo gry przeciwnikowi. Jednak zasady Memory takiej sytuacji nie przewidują. Co można zatem zrobić? Otóż można wykonać „pasywny ruch” czyli odkryć dwie znane karty! Gracz nic na tym doraźnie nie zyskuje ale stawia przeciwnika przed koniecznością wykonania niekorzystnego ruchu. Oczywiście drugi gracz może zrobić to samo i wtedy gra się zablokuje. Ponoć na mistrzostwach Memory zdarzały się takie sytuacje, ale przypominam, że tematem artykułu jest gra z dzieckiem, a dziecko takiej perfidnej strategii raczej nie zastosuje. A jak zastosuje? To trzeba się cieszyć, bo ma zadatki na geniusza :)

Zwick i Paterson podali w swoim artykule tabelkę strategii, jakie należy zastosować dla każdego układu wartości n i k. Oczywiście dla k = 0 gracz musi odkryć dwie nowe karty, a odkryć dwie znane może tylko wtedy, gdy k >1. Oczywiste jest też, że gdy gracz odkryje kartę, która tworzy parę z jedną z tych, których położenie pamięta, to gracz te parę zabiera. Dylemat może mieć tylko wtedy, gdy zna co najmniej dwie karty albo, gdy pierwsza odkryta karta nie stanowi pary z którąś z zapamiętanych. I wtedy należy posłużyć się podanym przez Zwicka i Patersona twierdzeniem:

  • jeżeli n+k jest liczba parzystą i 0 < k < n oraz w przypadku gdy n=6 i k=1, trzeba odkryć jedną nową kartę i jedną znaną kartę,
  • jeżeli n+k jest liczbą nieparzystą i k ≥ 2(n+1)/3, trzeba odkryć dwie znane karty,
  • w pozostałych przypadkach trzeba odkryć dwie nowe karty.

A jak wygląda opis końcówki Memory, gdy w grze bierze udział więcej osób niż dwie?

Sprawa trochę się komplikuje, bo teraz wartość wygranej jednego gracza nie jest taka sama, jak wartość przegranej drugiego. Moim zdaniem właściwe jest przedstawienie V nie jako liczby, tylko zbioru tylu liczb, ilu jest graczy. W języku informatycznym wartość gry jest więc wektorem o liczbie elementów równej liczbie graczy. Kolejne elementy tego wektora określają wartości oczekiwane zdobyczy kolejnych graczy, a suma wszystkich elementów jest równa liczbie par, jakie są do zdobycia. W przypadku gry z udziałem trzech osób, nietrudno  wywnioskować, jak będą wyglądały wartości gry dla n=1 i n=2:

V1,0 = [1 ; 0 ; 0]

V1,1 = [1 ; 0 ; 0]

V2,0 = [2/3 ; 4/3 ; 0]

V2,1 = [4/3 ; 2/3 ; 0]

V2,2 = [2 ; 0 ; 0]

Jak łatwo zauważyć, dla n = 1 i n = 2 trzeci gracz nie ma szans na zdobycie jakiejkolwiek pary.  Do policzenia wartości V dla większych n, można się posłużyć wzorami rekurencyjnymi, podobnymi do używanych w grze dwuosobowej, ale trochę bardziej skomplikowanymi.

memory Wzór 2Wyjaśnienia może wymagać występująca w pierwszym wzorze formuła Vn,k+1(3,1,2) oraz podobne formuły tylko z innymi indeksami we wzorze drugim. Odnosi się ona do sytuacji, gdy pierwszy gracz kończy swój ruch i czeka, co zrobią pozostali uczestnicy gry, a wiec staje się w tym momencie trzecim (według kolejności ruchów) graczem. Odpowiednio drugi gracz staje się graczem pierwszym, a trzeci graczem drugim. Najlepiej pokazuje to przykład:

skoro V2,0(1,2,3) = [2/3 ; 4/3 ; 0] to V2,0(3,1,2) = [0 ; 2/3 ; 4/3].

Analiza gry z udziałem dwóch osób była znacznie łatwiejsza, bo korzyść jednego gracza była równa stracie drugiego. W przypadku gry z udziałem trzech lub więcej osób już tak łatwo nie jest. Rozpatrzmy przypadek n=4, k=1. Gdy pierwszy gracz odkryje dwie nowe karty, wektor „wypłaty” przyjmuje postać:

[7/15 ; 202/105 ; 169/105] ≈ [0,47 ; 1,92 ; 1,61],

a gdy odkryje jedną nową kartę:

[8/15 ; 22/21 ; 254/105] ≈ [ 0,53 ; 1,05 ; 2,42].

Jeżeli gracz pierwszy weźmie pod uwagę tylko swoją potencjalną zdobycz, to druga strategia jest nieco lepsza. Ale jeżeli będzie chciał zminimalizować stratę do tego z przeciwników, który zdobędzie więcej kart, to lepsza jest strategia pierwsza. Jak z tego widać, w przypadku gry z udziałem więcej niż dwóch osób, matematyczna analiza strategii wiele pomóc nie jest w stanie. I dlatego zatytułowałem ten tekst „Jak wygrać z dzieckiem”, a nie „Jak wygrać z dziećmi”.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active
wordpress_test_cookie

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings