Matematyka w grach – analiza plansz w Zamkach Burgundii cz.5 (ostatnia) Ten tekst przeczytasz w 5 minut

Do przeanalizowania zostały jeszcze dwa źródła punktów – za wielkość zamykanego regionu i za fazę, w których region został zamknięty. Wielkość zamykanego regionu punktowana jest nieliniowo, według szeregu liczb trójkątnych. Mogłoby się więc wydawać, że premiuje to plansze, na których są duże regiony. Tak jednak nie jest, co można zauważyć, analizując tabelkę, przedstawioną w 3 odcinku tego cyklu artykułów. Na planszach z dużymi regionami wyniki są raczej poniżej średniej, oczywiście z wyjątkiem przypadków, gdy tymi dużymi regionami są pastwiska.

Podobny wniosek można wysnuć, patrząc na wykres, pochodzący z cytowanego w 2 odcinku artykułu Dana Bravendera:

Na wykresie przedstawione są sumy punktów za wielkość regionów dla plansz z podstawowego zestawu. Jak widać, na planszach 5, 7 i 8 punktów zdobywa się najmniej, a są to plansze, na których średnie liczby punktów są najwyższe.

Z czego to wynika spróbuje wyjaśnić na przykładzie niebieskiego, żółtego lub jasnozielonego regionu, złożonego z 6 pól. Za zamknięcie takiego regionu gracz otrzymuje 21 punktów. Ale zazwyczaj może tego dokonać dopiero w ostatniej fazie gry, więc punktów za fazę dostaje tylko 2, co daje w sumie 23. A teraz wyobraźmy sobie, że pola tego koloru podzielone są na 3 regiony dwupolowe. Przypuszczam, że kolejne regiony zostaną zamknięte w fazach drugiej, czwartej i piątej. Gracz otrzyma więc 8+4+2=14 punktów za fazy oraz 3×3=9 punktów za wielkość regionów. Daje to w sumie również 23 punkty. Można więc powiedzieć, że ta spora liczba punktów za region, złożony z 6 pól, stanowi najwyżej rekompensatę za późne punktowanie pojedynczego regionu.

Jednym z wniosków, przedstawionych w odcinku 3, na podstawie zamieszczonej w nim tabeli, była zależność liczby punktów od liczby regionów, na które podzielona jest plansza. Bo faktycznie plansza 8, na której wyniki są najwyższe, podzielona jest aż na 21 regionów, a zdecydowanie najgorsza plansza 10h – tylko na 10. Prawdopodobnie większość graczy już po kilku partiach zdaje sobie sprawę z tego, że duża liczba małych regionów to dużo punktów do zdobycia w początkowych fazach gry. Niestety dokładne opisanie tego w formie matematycznych zależności nie jest możliwe, bo jest zbyt dużo niewiadomych – strategia, przyjęta przez gracza, decyzje innych graczy, wyniki rzutów na kostkach oraz kolejność pojawiania się żetonów. Żeby więc oszacować wpływ poszczególnych plansz na liczbę punktów, zdobywanych za  zamykanie regionów, posłużyłem się prostym modelem symulacyjnym. Zbudowanie tego modelu wymagało przede wszystkim analizy tego, kiedy żetony pojawiają się na planszy.

W trakcie rozgrywki gracz układa na swojej planszy zwykle 25-30 żetonów, czyli średnio 5-6 w trakcie jednej fazy. W rzeczywistości trudno jednak spodziewać się, by w każdej fazie układał tyle samo żetonów. W pierwszej fazie na planszę gracza trafiają zwykle 4 żetony, rzadziej 5, jeszcze rzadziej 6, a czasem tylko 3. Za to w ostatniej fazie najczęściej 6 lub 7, niekiedy nawet 8. Z czego wynikają te różnice? Otóż gracz ma w trakcie jednej fazy 10 akcji z kostek. Do tego dochodzą akcje, wynikające z położenia na planszy zamków i niektórych budynków. Zamków jest w grze 12, a stolarni, kościołów, targowisk i ratuszy po 7, czyli w sumie 40 żetonów daje możliwość wykonania dodatkowej akcji. W grze czteroosobowej wypada więc średnio po 10 gracza. Przy założeniu, że wszystkie te żetony zostaną wykorzystane, gracz ma średnio dodatkowe dwie akcje w jednej fazie. Są jeszcze akcje specjalne, polegające na zakupie żetonów z centralnego magazynu. Ale na to potrzebne jest srebro, a w pierwszej fazie rozgrywki gracz ma go niewiele, bo zyski z kopalni zaczynają wpływać dopiero od drugiej fazy.

Do tego, aby żeton znalazł się na planszy gracza, potrzebne jest wykonanie dwóch akcji. Czyli teoretycznie, wykonując 12 akcji, gracz może umieścić na planszy 6 żetonów. W praktyce jednak w pierwszej fazie gracz aż tylu akcji nie ma, a ponadto zwykle 1-2 żetony czekają w magazynie gracza do następnej fazy. Inna sytuacja jest w fazie ostatniej. Gracz ma po pierwsze szanse na więcej akcji (bo zarabia na kopalniach), a po drugie zaczynając tę fazę ma w magazynie 1-2 żetony, a na koniec nie powinien mieć żadnego.

Opierając się na powyższych rozważaniach przyjąłem, że w pierwszej fazie gracz kładzie na planszy średnio 4,5 żetonu. Zgodnie z proporcjami kolorów na planszy, na te 4,5 żetonu składają się 1,5 żetonu budynku, po ¾ żetonów statków, nauki i zwierząt oraz po 3/8 żetonów zamków i kopalni. W następnych fazach ta liczba rośnie, aż do 7 żetonów w fazie 5.

Oczywiście na planszy kładzie się całe żetony, a nie ich ułamkowe części, więc te 3/8 zamku oznaczało w praktyce, że w trzech z 8 partii w pierwszej fazie na planszy pojawiał się zamek, a w pozostałych pięciu nie.

Drugim założeniem było przyjęcie, że regiony w poszczególnych kolorach zapełniane są w kolejności od najmniejszego do największego. Niestety to założenie nie dla każdej planszy jest poprawne, a co z tego wynikło, napiszę za chwilę.

Na podstawie przedstawionego powyżej modelu napisałem program, który dla każdej planszy rozegrał 1000 partii, a właściwie nie tyle partii, co sekwencji pojawiania się żetonów i wyliczył średnią liczbę punktów wyłącznie za fazy, w których zamykane były regiony. Wyniki wpisałem do ostatniej kolumny tabelki, pochodzącej z pierwszego odcinka, zawierającej średnie wyniki 279  tysięcy partii, rozegranych poprzez boiteajeux.net.

 

 

Z tabelki wynika jednoznacznie, że plansza 1 daje mało punktów za fazy zamykania regionów, a plansza 10h wręcz katastrofalnie mało. Ale na niektórych planszach wyniki są podejrzanie wysokie. Mam na myśli plansze 5, 10d, T13, 13a i 13g. Dla tych plansz założenie, że każdy kolor zapełniany jest począwszy od najmniejszego regionu było sprzeczne z rozkładem pól.

Popatrzmy np. na planszę nr 5. Jeżeli gracz zacznie od zamku w pobliżu prawego dolnego rogu, to niebieskie pola rzeki zapełni w kolejności 2-3-1, a miasta i żółte pola nauki zacznie od regionów dwupolowych. Po przeprowadzeniu korekty dla pięciu podejrzanych plansz, wyniki wyglądają tak.

 

Być może poprawki należałoby wprowadzić jeszcze dla kilku innych plansz, ale szkoda na to czasu, bo w istocie ten model miał tylko pokazać, że punkty za fazy kończenia regionów są jednym z dwóch najważniejszych (wraz z pastwiskami) źródeł różnic między wynikami na poszczególnych planszach. Jeszcze tylko kilka zdań o planszach z podstawowego zestawu. Duża przewaga planszy 8 wynika z tego, że jest najlepsza i w fazach zamykania regionów i w pastwiskach. Plansza 5 jest pod względem zamykania regionów dobra, ale ma najmniej korzystny układ pastwisk. Za to plansza 1 nadrabia pastwiskami, a plansza 6 dużymi obszarami.

Na tym kończę analizę wpływu plansz i liczby graczy na średnie liczby punktów. Nie był to oczywiście poradnik na temat strategii, ale być może pokazanie źródeł różnic w liczbie zdobywanych punktów na poszczególnych planszach może się przydać w wyborze strategii dla konkretnej planszy.