Matematyka w grach – Teoria wieży cz.2 Ten tekst przeczytasz w 6 minut

Zanim zacznę zapowiadaną w poprzednim odcinku statystyczną analizę wieży, przedstawię w skrócie zasady gry Amerigo, oczywiście tylko te, które mają bezpośredni związek z wieżą. W grze używa się 49 kostek w 7 kolorach. Przed rozpoczęciem rozgrywki do wieży wrzuca się jednocześnie wszystkie 49 kostek. Kostki, które wypadły z wieży, układa się na planszy według kolorów. Gra składa się z 5 rund, a każda runda z 7 faz.  Każda faza rozpoczyna się wrzuceniem do wieży wszystkich leżących na planszy kostek odpowiedniego koloru. W pierwszej fazie są to kostki niebieskie, następnie czarne, czerwone, brązowe, zielone, żółte i białe. Kostki, które wypadły z wieży, określają liczbę i rodzaj akcji, możliwych do wykonania w danej fazie rozgrywki, a po zakończeniu fazy dołączane są do leżących na planszy.

Odpowiedź na pytanie „jak działa wieża?” sprowadza się do odpowiedzi na kilka pytań szczegółowych, przedstawiających różne aspekty tego działania. Może nie wszystkie z nich są bardzo istotne dla graczy, ale z pewnością są istotne dla projektanta, bo pozwalają na zbadanie, na ile działanie wieży jest zgodne z przyjętymi założeniami. A oto lista pytań, na które, moim zdaniem, warto odpowiedzieć, analizując działanie wieży:

1. Ile kostek spośród wrzuconych na początku zostaje w wieży?
2. Jaki jest rozkład kolorów tych kostek?
3. Jak zmienia się liczba kostek w wieży w trakcie rozgrywki?
4. Ile kostek wypada z wieży w jednej fazie?
5. Czy i jak to zależy od liczby kostek wrzuconych?
6. Ile z kostek właśnie wrzuconych wypada z wieży?
7. Ile różnych kolorów kostek wypada z wieży?

W poprzednim odcinku pisałem o tym, że kostka nie spada swobodnie, ale w momencie zetknięcia z płaszczyzną piętra porusza się w sposób bardziej złożony – może mieć różną od zera składową poziomą prędkości oraz niezerową prędkość kątową. Dla sprawdzenia tej hipotezy przeprowadziłem prosty eksperyment – 100 razy wrzuciłem do wieży pojedynczą kostkę. Gdyby kostka spadała pionowo, to, ponieważ na górnym piętrze powierzchnia zajmowana przez tekturę jest nieco większa niż powierzchnia otworów, w przeszło połowie prób kostka powinna zatrzymać się na górnym piętrze, a jeśli spadła niżej, to powinna być też duża szansa, że zatrzyma się na piętrze dolnym i z wieży nie wypadnie. Eksperyment dał jednak rezultat odwrotny – tylko 30 kostek zatrzymało się w wieży, a 70 z niej wypadło. Potwierdza to spostrzeżenie graczy, że „to co wpada do wieży, wylatuje z niej”, ale nie do końca, bo jednak nie wypadają wszystkie wrzucone kostki.

Jak ten wynik eksperymentu przekłada się na liczbę kostek, które pozostają w wieży po wrzuceniu do niej przed rozpoczęciem rozgrywki wszystkich 49? 30% z 49 to 14,7 czyli około 15 kostek powinno zatrzymać się na obu piętrach wieży. W przykładzie podanym w instrukcji gry, w wieży pozostało kostek 21, natomiast w eksperymencie, który przeprowadził vester, w wieży zostało ich tylko 7.  Z mojego eksperymentu można wnioskować, że prawda leży gdzieś pośrodku. Jednak w statystyce prawda nie tyle leży, co raczej „rozkłada się” tzn. wynikiem badania statystycznego jest w tym przypadku rozkład zmiennej losowej. Żeby taki rozkład uzyskać, 300 razy wrzuciłem 49 kostek do wieży i za każdym razem policzyłem, ile kostek w wieży zostało. Wynik tego eksperymentu pokazany jest na wykresie.

Na osi poziomej zaznaczone są liczby kostek, które pozostały w wieży. Wysokość każdego słupka jest proporcjonalna do liczby rzutów, po których dana liczba kostek w wieży pozostała. Jak widać z wykresu, w wieży pozostawało od 6 do 25 kostek, choć najczęściej było ich od 13 do 17. Oczywiście to są wyniki uzyskane przy użyciu wieży z mojego egzemplarza gry i przy użyciu mojej ręki do wrzucania kostek. Być może, gdyby kto inny wrzucał kostki i wieża pochodziła z innego pudełka Amerigo, wyniki byłyby nieco inne. Niemniej jednak można zauważyć, że zarówno 7 jak i 21 kostek mnie też udało się w wieży pozostawić, aczkolwiek niezbyt często się to zdarzało.

Jak wcześniej napisałem, celem mojego eksperymentu było uzyskanie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej, którą jest liczba kostek, pozostających w wieży. Co to jest rozkład prawdopodobieństwa, pokażę najpierw na prostszym przykładzie. Wyobraźmy sobie, że rzucamy 300 razy symetryczną kostką k6 i po każdym rzucie zapisujemy liczbę oczek. Jeżeli narysujemy słupki, o wysokości proporcjonalnej do liczby rzutów, w których wypadło jedno oczko, dwa oczka itd., to uzyskamy wykres w postaci sześciu słupków mniej więcej równego wzrostu. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej liczby oczek jest takie samo. A teraz wykonajmy serię rzutów dwiema kostkami i zanotujmy za każdym razem sumę liczby oczek na obu kostkach. Słupków będzie w tym przypadku 11 i będą one odpowiadały liczbom oczek od 2 do 12. Najwyższy będzie słupek przy sumie oczek 7, a kolejne słupki w lewo i w prawo będą coraz niższe, a to dlatego, że sumę oczek 2 można uzyskać tylko jednym sposobem – na obu kostkach musi być jedno oczko. Podobnie jest z sumą oczek 12, która wymaga wyrzucenia dwóch szóstek, zaś sposobów uzyskania sumy 7 jest łącznie 6.

A jak jest w przypadku wieży? Może w niej pozostać od 0 do 49 kostek, a więc takie wartości może przyjmować nasza zmienna losowa. W rzeczywistości, co widać na wykresie, zakres ten jest znacznie węższy. Wysokości słupków odpowiadają prawdopodobieństwom uzyskania danych liczb kostek. Np. 11 kostek pozostało w wieży 21 razy, a zatem prawdopodobieństwo, że tyle kostek w wieży zostanie, jest równe 21/300 = 0,07 czyli 7%. Mając rozkład empiryczny, możemy policzyć jego parametry statystyczne, przede wszystkim wartość średnią i wariancję. Okazuje się, że wartość średnia liczby kostek, które pozostały w wieży, jest równa ok. 14,55; zaś wariancja, czyli miara rozproszenia wokół średniej, wynosi ok. 14,05. Spróbujmy teraz dopasować do tego rozkładu empirycznego rozkład teoretyczny. Niech to będzie rozkład Poissona. Dlaczego akurat ten rozkład? Po pierwsze dlatego, że wartość wariancji w naszym rozkładzie jest zbliżona do wartości średniej, a w rozkładzie Poissona są sobie równe. Po drugie wskazuje na to układ wysokości słupków. Żeby sprawdzić dopasowanie obu rozkładów, najlepiej umieścić je na jednym wykresie. Na rysunku poniżej ciemniejszym kolorem oznaczone są rzeczywiste wyniki eksperymentu, a jaśniejszym rozkład teoretyczny, czyli rozkład Poissona z parametrem λ=14,5.

Jak widać na wykresie, zgodność rozkładu eksperymentalnego z rozkładem teoretycznym jest całkiem dobra i wygląda na to, że mamy właściwy opis zjawiska. Niestety, aż tak dobrze nie jest. Jak już pisałem, wrzuciłem kostki do wieży 300 razy. Ale to wrzucanie i zapisywanie wyników trochę czasu zajmuje, więc nie zrobiłem tego za jednym zamachem, tylko w kilku etapach i miałem osobno zapisane wyniki pierwszych 100 i kolejnych 200 wrzutów. Okazało się, że średnia z pierwszych 100 wrzutów wynosi 12,77, natomiast z kolejnych 200 – 15,45. Rozkłady mają podobny kształt, ale pierwsza seria jest położona bardziej w lewo. Zrobiłem więc kolejną serię wrzutów. Tym razem średnia była jeszcze wyższa – 17,5 i najczęściej w wieży pozostawało 18 kostek, aczkolwiek zdarzało się też, że zostało ich tylko 6 albo 7. Nasuwa się więc wniosek, że wieża w kolejnych grach może przechowywać średnio coraz więcej kostek. Z czego to wynika, nie potrafię powiedzieć. Ale zwracam uwagę na to, że vester nagrał swój film krótko po rozpakowaniu gry, a autor zapewne jakiś czas z wieży korzystał, zanim przygotował zamieszczony w instrukcji przykład i być może stąd też ta różnica w wynikach. Podejrzewam też, że osoby, które narzekały na forum na „nadmierną  przepustowość wieży”, rozegrały zbyt mało partii. Może po 300 rozgrywkach zmieniłyby zdanie ;)

Interesujące może być nie tylko to, ile kostek pozostało w wieży, ale także jaki jest rozkład kolorów tych kostek. Oczywiście można to sprawdzić eksperymentalnie, czyli przeprowadzić odpowiednią liczbę „wrzutów” kostek do wieży. Jaka liczba byłaby odpowiednia? Niestety bardzo duża. W moim eksperymencie wrzucałem kostki 300 razy i nawet te najczęściej zdarzające się liczby kostek były na poziomie 30 wystąpień, czyli do jako takiego zbadania rozkładów kolorów dla tych przypadków, trzeba by kostki wrzucać kilka tysięcy razy. A co dopiero w przypadku liczb z „ogonów” rozkładu. Można to jednak zrobić inaczej, metodami kombinatorycznymi. Trzeba tylko przyjąć dość naturalne założenie, że „wieża nie rozróżnia kolorów kostek”, tzn. kostka każdego koloru ma taką samą szansę na pozostanie w wieży podczas początkowego wrzucenia wszystkich 49.

Załóżmy, że w wieży pozostało 14 kostek. Na ile sposobów można z 49 kostek wybrać 14? Określa to wzór na liczbę kombinacji bez powtórzeń czyli dwumian Newtona. Konkretnie jest to 675248872536.  Jakie są szanse na to, że wśród tych 14 kostek będzie po 7 w dwóch kolorach? Takich zdarzeń jest 21, czyli raz na 30 miliardów zdarzeń, w których w wieży pozostało 14 kostek, będą to kostki w dwóch tylko kolorach. A teraz przenieśmy się na drugi biegun: jaka jest szansa, że w wieży zostaną po dwie kostki każdego z 7 kolorów? Tu prawdopodobieństwo jest znacznie większe i wynosi 0,27%. Jakie rozkłady kolorów występują najczęściej? Okazuje się, że 3322211 – 17,29%, 4322111 – 11,53% i 432221 – 9,88%. Wszystkich wyników szczegółowych podawać oczywiście nie będę. Myślę, że ciekawsze będą wyniki skumulowane, które zebrałem w dwóch tabelkach. Pierwsza z nich zawiera prawdopodobieństwa liczb różnych kolorów, w których kostki pozostały w wieży, dla kilku wartości łącznej liczby kostek. Jeżeli w jakiejś rubryce jest liczba 0,00% to oznacza, że wartość, która tam występuje jest bardzo mała, natomiast pozioma kreska oznacza zdarzenie niemożliwe, bo jak w wieży zostało 15 kostek, to muszą być w więcej niż dwóch kolorach.

 

	2	3	4	5	6	7
11	0,00%	0,04%	2,41%	22,59%	50,27%	24,69%
12	0,00%	0,01%	1,11%	15,60%	49,33%	33,95%
13	0,00%	0,00%	0,49%	10,33%	45,90%	43,29%
14	0,00%	0,00%	0,21%	6,59%	40,99%	52,21%
15	——–	0,00%	0,08%	4,08%	35,43%	60,41%

 

Druga tabelka zawiera prawdopodobieństwa maksymalnych liczb kostek w jakimś kolorze, czyli inaczej mówiąc przedstawia szansę na to, że w kolorze, którego zostało w wieży najwięcej, jest tyle właśnie kostek.

 

	2	3	4	5	6	7
11	12,13%	63,03%	22,04%	2,65%	0,14%	0,00%
12	5,21%	60,56%	29,66%	4,29%	0,28%	0,01%
13	1,60%	53,50%	37,80%	6,58%	0,50%	0,01%
14	0,27%	43,49%	45,73%	9,63%	0,86%	0,03%
15	——–	32,48%	52,57%	13,52%	1,39%	0,05%

 

Myślę, że na tym można zakończyć statystyczny opis przygotowania wieży do gry. W następnym odcinku zajmę się działaniem wieży w trakcie rozgrywki.