Część druga…

Truel

Jest to neologizm, oznaczający pojedynek z udziałem trzech osób (tri-duel). Załóżmy, że biorą w nim udział gracz A, trafiający z prawdopodobieństwem 0,8, gracz B z celnością 0,6 i gracz C, ze skutecznością strzału 0,4. Gracz, na którego przypada kolejka, wybiera do kogo będzie strzelał. Autorzy proponują czytelnikom książki przeprowadzenie eksperymentu przy użyciu kostki k10 dla różnych kolejności strzelania i „zdziwienie się” wynikami…

Ja kostkami nie rzucałem tylko policzyłem prawdopodobieństwa i rzeczywiście statystyka gry może być zaskakująca: A wygrywa z prawdopodobieństwem 0,266, B – 0,304, C – 0,430. Symulacja komputerowa – 6 milionów partii, po milionie dla każdej z 6 możliwych kolejności graczy – potwierdziła te rezultaty. A więc w „truelu” o wyniku gry nie decydują umiejętności tylko polityka.

Dla zainteresowanych podaję schemat obliczeń. Jeżeli A strzela jako pierwszy, to oczywiście za cel wybiera gracza B, którego eliminuje z prawdopodobieństwem 0,8. Pozostaje mu wtedy pojedynek z graczem C. Wprawdzie C strzela pierwszy, ale i tak A wygrywa 6 na 11 takich pojedynków. Jeżeli A spudłuje pierwszy strzał (prawdopodobieństwo 0,2), to gracze B i C będą kolejno strzelać do niego. Jeżeli przetrwa, na co ma szansę 0,6 x 0,4 = 0,24, to wracamy do punktu wyjścia. A zatem prawdopodobieństwo, że gracz A wygra, gdy będzie strzelał jako pierwszy, wynosi 0,8 x 6/11 / (1 – 0,2 x 0,24) = 0,458.

Załóżmy teraz, że gracz A strzela jako trzeci. Oczywiście B i C strzelają do niego, więc ma na przetrwanie do swojej kolejki szansę 0,24. A więc szansa na zwycięstwo gracza A wynosi w tej sytuacji 0,24 x 0,458 = 0,110.

W analogiczny sposób można policzyć szanse wszystkich graczy dla każdej kolejności strzelania.

Strategie stosowane w grach politycznych

W grach politycznych gracze stosują zazwyczaj następujące strategie:

• Celowe osłabianie swojej pozycji, aby nie stanowić zagrożenia
• Czekanie, aż inni gracze „wykrwawią się”
• Przymilanie się, lamentowanie i żebranie o to, by nie być celem ataku
• Oferowanie korzyści i stosowanie gróźb wykraczających poza grę
• Mszczenie się na graczu, który mnie zaatakował
• Groźba zemsty w celu nakłonienia do zmiany celu ataku
• Świadomy wybór „rewanżu” – akcji, szkodzącej przeciwnikowi, który mnie wcześniej zaatakował, nawet gdy zmniejszy to moje szanse na zwycięstwo po to, by zdobyć opinię gracza mściwego (taka opinia może być przydatna w następnych partiach)
• Atakowanie po kolei różnych graczy albo losowy wybór ofiary ataku po to, by sprawiać wrażenie sprawiedliwego i ograniczyć chęć zemsty u atakowanych
• Wyjaśnianie zaatakowanemu graczowi, dlaczego wybór właśnie jego był w danej sytuacji w grze najrozsądniejszą decyzją
• Przekonywanie przeciwnika, który chce mnie zaatakować, że taka decyzja nie będzie dla niego najkorzystniejsza i że zaatakowanie kogo innego zwiększy jego szanse na zwycięstwo
• Przekonywanie innego gracza, że powinien się poświęcić, aby uniemożliwić liderowi zwycięstwo
• Świadoma rezygnacja z wykonania akcji, blokującej liderowi możliwość zwycięstwa po to, by jeden z kolejnych graczy musiał się poświęcić
• Kingmaking – gracz, który sam nie ma szans na zwycięstwo może zdecydować o tym, kto wygra

Gra w baloniki

W grze bierze udział trzech graczy: A, B i C. Każdy z nich ma balonik i strzałkę (taką, jak w grze Darts). Gracze jednocześnie rzucają strzałkami – każdy w kierunku balonika wybranego przeciwnika. Załóżmy, że gracz A trafia z prawdopodobieństwem 0,6, gracz B – 0,5, a gracz C – 0,4. Jeżeli tylko jeden balonik ocaleje, jego właściciel zostaje zwycięzcą. Gdy przetrwają dwa baloniki – ich właściciele walczą o zwycięstwo. Gdy żaden balonik nie zostanie przekłuty albo gdy zniszczone zostaną wszystkie trzy, rozgrywka jest powtarzana.

„Oczywistą” strategią jest dla gracza A celowanie w balonik gracza B, a dla dwóch pozostałych graczy – atakowanie gracza A. Ale przy takim wyborze strategii, gracz B ma tylko 19% szans na zwycięstwo. Jeżeli jednak B zmieni plan i zacznie od ataku na gracza C, jego szanse na zwycięstwo rosną do 23%.

W pierwszym przypadku mamy cztery możliwe sytuacje:

• nikt nie trafi – prawdopodobieństwo tego zdarzenia to 0,4 x 0,5 x 0,6 = 0,12
• trafi tylko A – zostają więc w grze A i C, na co szansa to 0,6 x 0,5 x 0,4 = 0,18
• A nie trafi, trafi za to przynajmniej jeden z dwóch pozostałych graczy; pozostają przy życiu B i C, a prawdopodobieństwo takiej sytuacji to 0,4 x (1 – 0,5 x 0,6) = 0,28
• trafi A oraz przynajmniej jeden z dwóch pozostałych graczy – wtedy ocaleje tylko C, na co szansa wynosi 0,6 x (1 – 0,5 x 0,6) = 0,42

Jak widać, B może pozostać w grze albo wraz z graczem C i wtedy ma 60% szans na zwycięstwo albo z oboma pozostałymi graczami i wtedy wracamy do punktu startowego. Tak więc prawdopodobieństwo tego, że gracz B wygra, jest równe 0,28 x 0,6 / (1 – 0,12) = 0,19.

W drugim przypadku mamy 8 różnych możliwości:

• nikt nie trafi – prawdopodobieństwo tego zdarzenia to 0,4 x 0,5 x 0,6 = 0,12
• trafi tylko A – szansa 0,6 x 0,5 x 0,6 = 0,18; zostają w grze A i C
• trafi tylko B – szansa 0,4 x 0,5 x 0,6 = 0,12; zostają w grze A i B
• trafi tylko C – szansa 0,4 x 0,5 x 0,4 = 0,08; zostają w grze B i C
• trafią A i B – szansa 0,6 x 0,5 x 0,6 = 0,18; wygrywa A
• trafią A i C – szansa 0,6 x 0,5 x 0,4 = 0,12; wygrywa C
• trafią B i C – szansa 0,4 x 0,5 x 0,4 = 0,08; wygrywa B
• wszyscy trzej trafią – szansa 0,6 x 0,5 x 0,4 = 0,12 i wtedy gra jest powtarzana

B może więc od razu wygrać z prawdopodobieństwem 0,08, może walczyć o zwycięstwo z graczem A i ma wtedy 40% szans na wygraną albo z graczem C (60% szans). Są też dwie możliwości powtórzenia gry – gdy żaden z baloników nie zostanie trafiony albo gdy trafione zostaną wszystkie. Tak więc prawdopodobieństwo tego, że gracz B zostanie zwycięzcą wynosi (0,08 + 0,12 x 0,4 + 0,08 x 0,6) / (1 – 0,12 – 0,12) = 0,23

Jak widać z tego przykładu, „naturalna” skłonność do atakowania lidera nie zawsze musi być dla gracza korzystna. Choć „gra w baloniki” może wydawać się sztuczną, niejedna gra wieloosobowa ma podobne cechy.

Negatywny efekt negatywnej interakcji

Wróćmy jeszcze na chwilę do gry w zabieranie żetonów. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy tuż przed końcem partii. W grze zostali trzej gracze A, B i C, a każdy z nich ma po jednym żetonie. Kolej przypada na gracza A. Jeżeli zabierze żeton graczowi B, to gracz C zabierze żeton jemu i wygra. Analogiczna sytuacja wystąpi, gdy gracz A zabierze żeton graczowi C, ale tym razem B zostanie zwycięzcą. Gracz A wygrać nie może, ale to on decyduje, który z pozostałych graczy zostanie triumfatorem. Tak więc zakończenie gry w zabieranie żetonów to czysty kingmaking.

Są dwa podstawowe źródła kingmakingu. Jeden to istnienie negatywnej interakcji i możliwość dowolnego wyboru celu tej interakcji. Drugi to brak fizycznej eliminacji graczy. Autorzy nowoczesnych gier, szczególnie eurogier, starają się unikać eliminowania graczy przed zakończeniem rozgrywki. Niestety brak „fizycznej” eliminacji gracza powoduje możliwość wystąpienia eliminacji „logicznej” czyli doprowadzenia do sytuacji, że gracz wciąż w rozgrywce uczestniczy, jednak bez szans na zwycięstwo. Ale może mieć wpływ na to, kto z pozostałych graczy wygra.

Kingmaking nie jest lubiany przez graczy, szczególnie przez tych, których kingmaking pozbawił zwycięstwa. Jak sprawić, by w grze nie wystąpił? Najprostsza metoda to oczywiście unikanie logicznej eliminacji graczy, ale musiałoby to prowadzić do eliminacji fizycznej, czyli lekarstwa gorszego niż choroba. Inna metoda to ograniczenie interakcji np. tylko do bezpośrednich sąsiadów, jak chociażby w grze 7 cudów, ale w grze trzyosobowej nic to oczywiście nie daje.

Pozytywne skutki negatywnej interakcji

Jeżeli początkujący gracz zasiądzie do partii z ekspertami, to przy braku interakcji rezultat będzie łatwy do przewidzenia – przegra o kilkadziesiąt, a może nawet kilkaset punktów. Ale gdy w grze występuje silna negatywna interakcja, to gra może przebiegać inaczej. Eksperci będą raczej szkodzić sobie nawzajem, bo żółtodzioba nie będą traktowali jako zagrożenia i dzięki temu końcowe wyniki będą bardziej wyrównane, na korzyść początkującego gracza. Ale i dla ekspertów jakiś zysk z tego będzie – łatwiej znaleźć partnerów do gry, w której końcowy wynik nie zależy wyłącznie od umiejętności graczy.