Home / Artykuły / Scrabble

Scrabble Matematyka w grach. Felieton

Na pierwszy rzut oka Scrabble to gra humanistyczna, w której decydującą rolę odgrywa zasób słownictwa, a matematyka sprowadza się do prostych działań – sumowania punktów za litery i ewentualnie mnożenia, gdy układany wyraz przechodzi przez pole premii literowej lub słownej. W tym tekście postaram się wykazać, że do dokładniejszej analizy gry matematyka jest przydatna, a nawet niezbędna.

Podstawowym zagadnieniem „matematycznym” jest ustalenie, ile powinno być płytek z daną literą i jaka powinna być wartość punktowa tej litery. Wiadomo, że niektóre litery występują w polskim słownictwie częściej, a inne rzadziej. Tych częściej występujących powinno być w zestawie więcej, bo występują w większej liczbie wyrazów i są przez to bardziej potrzebne. Ale z drugiej strony łatwiej takich liter można użyć, więc powinny być niżej punktowane. Oczywiście łatwo zauważyć, że litera A występuje w języku polskim częściej niż Ź ale porównanie, czy więcej jest wyrazów z literą B czy D już takie łatwe nie jest. A sama hierarchia częstości występowania nie wystarczy, bo trzeba jeszcze dobrać odpowiednie proporcje.

Gdy w 1979 roku Marek Penszko opublikował w Kalendarzu Szaradzisty przepisy wzorowanej na Scrabble „Gry w krzyżówkę”, przy doborze liczb poszczególnych liter i punktów za każdą literę wykorzystał dane, zawarte w artykule Barbary Kowalskiej „Częstość występowania liter w języku polskim”, opublikowanym w 1967 roku w branżowym piśmie poligrafów „Litera”. Tym samym źródłem posłużył się Jacek Ciesielski, przedstawiając najpierw w tygodniku „Razem” (1986) zasady gry wraz z planszą i zestawem żetonów do samodzielnego wycięcia, a następnie przygotowując pierwsze polskie wydanie Scrabble w 1993 roku.

Autorka artykułu w „Literze” zebrała dostępne w owym czasie statystyki występowania liter i po prostu wyciągnęła z nich średnią arytmetyczną. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że uśrednienie wyników z siedmiu różnych źródeł powinno przybliżać do „prawdy obiektywnej” ale w tym przypadku można mieć co do tego wątpliwości. Przede wszystkim dlatego, że zbiory tekstowe, na podstawie których obliczano frekwencje liter, były różnej wielkości (od 10 tysięcy do 200 tysięcy znaków) i w różny sposób powstawały. Trzy z nich były opracowaniami Polskiego Komitetu Normalizacji i zostały przygotowane podczas prac nad polską wersją klawiatury do maszyn do pisania, jeden powstał na potrzeby artykułu naukowego, a dwa były dziełem tłumaczy, którzy musieli zastąpić dane z oryginalnych książek, odnoszące się do frekwencji liter w języku rosyjskim. Ale było jedno źródło bardzo dziwne, bo oparte na częstości występowania nie liter, tylko głosek. Dane z tego źródła znacznie odbiegały od pozostałych, bo głoski rejestrowane „ze słuchu” zaniżyły częstość występowania jednych liter, a zawyżyły innych (m.in. dlatego, że np. w słowie „pączek” nie została zarejestrowana litera „ą”, a zamiast niej litery „o” i „n”). Pamiętać trzeba też o tym, że wszystkie opracowania źródłowe powstały w latach 1951-61, a więc z pewnością były obarczone błędami, wynikającymi z „ręcznego” liczenia liter.

Warto zauważyć, że aktualna wersja gry Scrabble różni się od pierwszego wydania w kilku szczegółach: liter A jest 9 a nie 8, litera F jest na jednej płytce, a nie na dwóch i ma wartość 5, a nie 4, natomiast litera Ź zdrożała z 7 do 9 punktów. Dlaczego litera F została początkowo uznana za częściej występującą niż np. Ą, choć nawet średnia z artykułu w „Literze” na to nie wskazuje, tego nie wiadomo. Być może zdecydowało to, że po jednej płytce dostały tylko typowo polskie litery (z wyjątkiem Ł), a może to dlatego, że w jednym źródle (akurat tym „fonetycznym”) udział litery F wyniósł aż 1,5% ?

Poniżej przedstawiam Tabelę 1, w której zestawiłem częstotliwość występowania liter (od najpopularniejszych do najrzadszych) na podstawie różnych źródeł. Przy porównywaniu wyników trzeba pamiętać, że w odróżnieniu od pozostałych statystyk, słownik scrabblisty nie uwzględnia wyrazów jednoliterowych (a, i, o, u, w, z) oraz dłuższych niż piętnastoliterowe.

li-
tera
pły-
tek
udział pkt OSPS IPI Litera Krypto Pętla GG ZM
A

9

9,18%

1

9,50%

8,91%

8,49%

9,02%

8,70%

10,46%

8,87%

I

8

8,16%

1

9,40%

8,21%

8,26%

8,09%

8,98%

8,27%

7,99%

E

7

7,14%

1

7,57%

7,66%

7,44%

7,51%

7,75%

9,91%

7,27%

O

6

6,12%

1

7,47%

7,75%

7,70%

7,90%

6,82%

8,09%

7,58%

N

5

5,10%

1

6,94%

5,52%

5,46%

5,81%

4,59%

5,15%

5,57%

Z

5

5,10%

1

4,34%

5,64%

5,80%

5,17%

6,34%

6,11%

6,06%

W

4

4,08%

1

4,12%

4,65%

4,50%

4,78%

3,79%

3,39%

5,04%

R

4

4,08%

1

3,78%

4,69%

4,51%

5,06%

3,72%

3,53%

4,49%

S

4

4,08%

1

3,03%

4,32%

4,52%

4,46%

4,07%

4,57%

4,26%

Y

4

4,08%

2

5,27%

3,76%

3,78%

3,70%

3,82%

3,25%

4,35%

C

3

3,06%

2

4,13%

3,96%

3,81%

3,96%

3,79%

3,93%

3,94%

M

3

3,06%

2

4,11%

2,80%

2,57%

2,73%

3,41%

3,73%

2,59%

K

3

3,06%

2

2,98%

3,51%

3,02%

3,54%

3,50%

3,42%

3,74%

P

3

3,06%

2

2,78%

3,13%

2,93%

2,92%

3,19%

2,66%

3,02%

L

3

3,06%

2

2,34%

2,10%

2,04%

2,36%

1,85%

2,53%

1,91%

T

3

3,06%

2

2,24%

3,98%

3,54%

3,94%

3,72%

4,53%

3,62%

D

3

3,06%

2

2,21%

3,25%

3,36%

3,23%

3,44%

3,12%

3,55%

U

2

2,04%

3

2,78%

2,50%

1,87%

2,59%

2,22%

2,03%

2,81%

Ł

2

2,04%

3

2,70%

1,82%

1,90%

1,82%

3,55%

1,19%

2,23%

B

2

2,04%

3

2,32%

1,47%

1,26%

1,39%

1,77%

1,98%

1,17%

J

2

2,04%

3

1,92%

2,28%

2,32%

2,26%

2,12%

2,89%

1,96%

G

2

2,04%

3

1,36%

1,42%

1,38%

1,54%

1,34%

1,11%

1,36%

H

2

2,04%

3

1,14%

1,08%

1,19%

1,25%

0,93%

1,12%

1,01%

Ą

1

1,02%

5

1,43%

0,99%

0,84%

0,95%

1,24%

0,33%

1,13%

Ś

1

1,02%

5

1,31%

0,66%

0,76%

0,58%

0,93%

0,47%

0,65%

Ę

1

1,02%

5

0,80%

1,11%

1,15%

0,98%

1,81%

0,71%

1,22%

Ż

1

1,02%

5

0,78%

0,83%

0,69%

0,66%

0,96%

0,53%

0,77%

F

1

1,02%

5

0,35%

0,30%

0,37%

0,41%

0,19%

0,22%

0,28%

Ó

1

1,02%

5

0,35%

0,85%

1,22%

0,89%

0,72%

0,34%

0,93%

Ć

1

1,02%

6

0,19%

0,40%

0,47%

0,26%

0,51%

0,31%

0,29%

Ń

1

1,02%

7

0,25%

0,20%

0,19%

0,21%

0,15%

0,06%

0,22%

Ź

1

1,02%

9

0,09%

0,06%

0,10%

0,07%

0,07%

0,04%

0,12%

polskie

10,20%

7,90%

6,92%

7,32%

6,42%

9,94%

4,00%

7,56%

samo-
głoski

39,80%

44,59%

41,74%

40,75%

41,63%

42,05%

43,40%

42,16%

W kolejnych kolumnach tabeli podane są: litera, liczba płytek z tą literą w zestawie Scrabble, udział procentowy w zestawie, punktacja tej litery, a następnie frekwencja liter na podstawie różnych źródeł:

– OSPS – Oficjalny Słownik Polskiego Scrabblisty

– NKJP – Narodowy Korpus Języka Polskiego, opracowany przez IPI PAN

– Litera – artykuł Barbary Kowalskiej w czasopiśmie „Litera” [1]

– Krypto – strona http://practicalcryptography.com/cryptanalysis/letter-frequencies-various-languages/

– Pętla – opowiadanie Marka Hłaski „Pętla” [2]

– GG – zbiór zapisów rozmów z komunikatora Gadu-Gadu [2]

– ZM – artykuł L. Zubrzyckiej z czasopisma Zastosowania Matematyki [3]

Dwa dolne wiersze zawierają procentowy udział „polskich liter” (ą, ć, ę, ł, ń, ó, ś, ź, ż) oraz samogłosek.

Garść informacji na temat źródeł (poza przedstawionym wcześniej artykułem z „Litery”). Wykorzystałem pierwsze wydanie OSPS, zawierające ok. półtora miliona wyrazów, co daje ok. 15 milionów liter.

Narodowy Korpus Języka Polskiego to zrównoważony językowo i tematycznie zbiór polskich tekstów. Lista źródeł korpusu zawiera nie tylko klasykę literatury polskiej, ale też prasę codzienną i specjalistyczną, nagrania rozmów, teksty ulotne i internetowe. Warto dodać, że wyniki z tej kolumny nie sumują się do 100%, ponieważ w statystyce uwzględnione są także litery, nie występujące w języku polskim, a pojawiające się w nazwach własnych, m.in. Q, V oraz X.

Strona „PracticalCryptography” podaje statystyki występowania poszczególnych liter, a także częstotliwość występowania najpopularniejszych zestawów dwuliterowych, trzyliterowych i czteroliterowych w różnych językach. Statystyka dla języka polskiego została opracowana na podstawie złożonego z 90 milionów znaków korpusu języka polskiego z zasobów uniwersytetu w Lipsku.

Statystyki dla opowiadania „Pętla” i zapisu rozmów na Gadu-Gadu (po około 80 tysięcy liter) pochodzą z artykułu Marka Osiewicza i Krzysztofa Skibskiego z Uniwersytetu Adama Mickiewicza w Poznaniu. Autorzy porównali frekwencję liter w dwóch tekstach z XVI wieku z napisanym współczesnym językiem (no może prawie współczesnym, bo z roku 1956) opowiadaniem Marka Hłaski i zapisem rozmów na Gadu Gadu (artykuł został napisany w roku 2012, kiedy ten komunikator był dość powszechnie używany). Oczywiście tych starych tekstów nie brałem pod uwagę. Nie tylko dlatego, że gra Scrabble powstała znacznie później ale przede wszystkim z powodu występowania w nich innego zestawu liter niż we współczesnej polszczyźnie.

Praca Zubrzyckiej miała na celu przygotowanie założeń do reformy systemu stenografii. Chodziło o to, żeby najczęściej występującym literom odpowiadały najszybsze do napisania znaki stenograficzne. Autorka analizowała 4 teksty: polityczno-gospodarczy, naukowo-historyczny, handlowy i literacki. Każdy z nich liczył po około 6 tysięcy liter. Okazało się, że rozkład liter, szczególnie tych rzadziej występujących, był w nich bardzo różny (np. w pierwszym tekście litera Ń wystąpiła tylko raz, a Ź 14 razy, zaś w ostatnim Ń było 15, a Ź 3. Dlatego wykorzystałem średnią dla tych czterech tekstów, opartą na zbiorze 24 tysięcy liter.

W polskiej wersji Scrabble 7 płytek z woreczka można wyciągnąć na 11.268.199 różnych sposobów. Specjalnie wytłuściłem słowo różnych, bo oczywiście wzór na kombinacje, określający liczbę możliwych wyborów 7 elementów ze 100, daje wartość dużo wyższą – ponad 1,6 x 1010. Ale, jak napisałem wcześniej, tylko niektóre litery w zestawie Scrabble nie powtarzają się, a np. litera A występuje aż w 9 egzemplarzach. Jak można otrzymać liczbę różnych rozwiązań? Otóż każdej literze, która występuje w zestawie tylko raz, przypisujemy wielomian 1+x, tym, co występują po dwa razy wielomian 1+x+x2 itd., a następnie wszystkie te wielomiany przez siebie mnożymy (nie polecam robienia tego ręcznie na kartce) czyli wykonujemy działanie:

(1+x)9 (1+x+x2)7 (1+x+x2+x3)7 (1+x+x2+x3+x4)4 (1+x+x2+x3+x4+x5)2 (1+x+x2+x3+x4+x5+x6)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7) (1+x+ x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9)

W rezultacie dostajemy długi wielomian stopnia 100, w którym interesuje nas tylko jedna liczba – współczynnik stojący przy wyrazie x7 (7 – bo tyle płytek losujemy) i to jest właśnie podana wcześniej wartość: 11.268.199. Oczywiście dla każdej wersji językowej ta wartość może być inna, bo liczby liter w poszczególnych alfabetach są różne, a w dodatku poszczególne wydania mogą się różnić łączną liczbą płytek.

Intersujący może być procentowy udział różnych struktur w wylosowanym układzie płytek, np. jak często się zdarza, że na każdej z wylosowanych płytek będzie inna litera. W Tabeli 2 przedstawiam takie zestawienie dla kilku wersji językowych – polskiej, angielskiej, czeskiej i łacińskiej. Dlaczego akurat te wybrałem te języki? Otóż zestaw dla każdego z nich składa się ze 100 płytek, więc łatwiej można dokonać porównań, a zestaw czeski i łaciński mają odpowiednio najwięcej i najmniej różnych liter.

Rozkład liter Polski Angielski Czeski Łaciński Polski Angielski Czeski Łaciński

7

3

4

0

7

0,0000%

0,0001%

0,0000%

0,0010%

61

128

182

39

140

0,0011%

0,0057%

0,0001%

0,0193%

52

138

147

112

144

0,0012%

0,0046%

0,0003%

0,0198%

511

2976

2275

2964

1520

0,0264%

0,0711%

0,0073%

0,2091%

43

160

121

136

143

0,0014%

0,0038%

0,0003%

0,0197%

421

7130

5775

8512

3762

0,0633%

0,1805%

0,0208%

0,5174%

4111

49600

28600

73112

12540

0,4402%

0,8938%

0,1791%

1,7248%

331

4216

1650

5814

1729

0,0374%

0,0516%

0,0142%

0,2378%

322

4301

2520

6804

2142

0,0382%

0,0788%

0,0167%

0,2946%

3211

181815

75600

354312

43092

1,6135%

2,3627%

0,8677%

5,9270%

31111

611320

179400

1480518

67830

5,4252%

5,6067%

3,6258%

9,3295%

2221

60720

36960

135198

17442

0,5389%

1,1551%

0,3311%

2,3990%

22111

1240620

531300

3425016

165699

11,0099%

16,6046%

8,3879%

22,7907%

211111

4833024

1447160

16696953

294576

42,8908%

45,2277%

40,8908%

40,5168%

1111111

4272048

888030

18643560

116280

37,9124%

27,7533%

45,6580%

15,9935%

11268199

3199724

40833050

727046

100,0000%

100,0000%

100,0000%

100,0000%

Tabela 2

W lewej kolumnie tabeli podany jest układ liter. Samo 7 oznacza wylosowanie siedmiu takich samych liter, 61 – sześciu takich samych i jednej innej itd. aż do 1111111 czyli siedmiu różnych liter. W następnych czterech kolumnach mamy liczbę możliwości dla każdego języka. Np. w języku polskim można wylosować po 7 liter A, E oraz I, w angielskim po 7: A, E, I oraz O natomiast w czeskim zestawie żadna litera nie występuje w 7 egzemplarzach. Ostatnie 4 kolumny to procentowy udział poszczególnych układów liter. Jak widać z tego zestawienia, tylko w języku czeskim najbardziej prawdopodobne jest wylosowanie siedmiu różnych liter (a to dlatego, że w czeskim wydaniu Scrabble jest aż 39 różnych liter plus oczywiście blanki). W trzech pozostałych wersjach zazwyczaj gracz losuje zestaw, w którym jedna litera się powtarza. Oczywiście w polskim wydaniu najczęściej powtarza się litera A (raz na 10 losowań). Ale raz na 236 partii można na początku gry wylosować dwa blanki.

Istotnym zagadnieniem dla gracza jest proporcja samogłosek i spółgłosek. Według autorów książki [4], „idealny stojak” powinien zawierać od dwóch do czterech samogłosek. W Tabeli 3 można zobaczyć, ile jest możliwości i jaki stanowią procent układy z daną liczbą samogłosek (pionowo) i blanków (poziomo).

0

1

2

0

1

2

7

15 380 937

0

0

0,096%

0,000%

0,000%

6

192 494 757

6 525 246

0

1,203%

0,041%

0,000%

5

985 120 227

67 939 326

575 757

6,154%

0,424%

0,004%

4

2 673 897 759

281 462 922

4 852 809

16,704%

1,758%

0,030%

3

4 159 396 514

594 199 502

15 636 829

25,984%

3,712%

0,098%

2

3 709 732 026

674 496 732

24 089 169

23,175%

4,214%

0,150%

1

1 757 241 486

390 498 108

17 749 914

10,978%

2,439%

0,111%

0

341 149 446

90 114 948

5 006 386

2,131%

0,563%

0,031%

86,424%

13,152%

0,424%

Tabela 3

Jak widać, najczęściej zdarza się wylosowanie trzech samogłosek (gdy w układzie nie ma blanka) albo dwóch (gdy jest jeden lub dwa blanki). A jak to wygląda „od drugiej strony” czyli jaki procent stanowią samogłoski w wyrazach różnej długości? W Tabeli 4, opracowanej na podstawie Słownika Scrabblisty, kolejne kolumny odpowiadają wyrazom różnej długości, a kolejne wiersze liczbom samogłosek.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

31,36%

6,09%

1,04%

0,15%

0,02%

0,00%

2

66,64%

78,48%

47,40%

18,51%

5,58%

1,42%

0,25%

0,03%

0,00%

3

2,00%

15,39%

49,14%

66,37%

51,93%

28,22%

10,94%

3,58%

0,69%

0,09%

0,02%

0,00%

4

0,03%

2,41%

14,82%

39,66%

55,39%

47,05%

27,73%

9,43%

2,20%

0,59%

0,24%

5

0,15%

2,81%

14,56%

37,42%

48,75%

40,06%

20,40%

6,22%

2,60%

6

0,00%

0,41%

4,31%

18,90%

41,24%

44,45%

29,67%

15,29%

7

0,03%

1,02%

8,36%

29,70%

47,48%

45,51%

8

0,23%

3,13%

15,37%

32,81%

9

0,03%

0,65%

3,51%

10

0,03%

Tabela 4

UWAGA: 0,00% oznacza, że takich wyrazów jest bardzo mało (np. w Słowniku Scrabblisty jest tylko 6 wyrazów dziewięcioliterowych z jedną samogłoską) natomiast puste pole oznacza, że nie ma np. żadnego wyrazu dziesięcioliterowego z jedną samogłoską.

Jak widać, najczęściej samogłoski stanowią nieco mniej niż połowę liter w wyrazie. Oczywiście są wyrazy o znacznie zaburzonych proporcjach. Z nadmiarem samogłosek: AUDIO, AUCIE, OAZIE, AUREOLE, AUDIONIE, AUREUSIE, OCIENIENIE, AEROBIOLOGIA, NIEUOSOBIENIE, AUTOUTLENIANIE, NIEUNIESIENIAMI albo z nadmiarem spółgłosek: BRZUCH, CHRZEST, WRZESZCZ, CHRZĄSZCZ, FECHTMISTRZ, CHRZĄSZCZACH, BEZWZGLĘDNOŚĆ, BEZKSZTAŁTNOŚĆ, WSZECHSTRONNOŚĆ.

Jak wspomniałem wcześniej, na stronie na temat kryptografii podane są najpopularniejsze układy dwóch, trzech i czterech kolejnych liter. Dla kogoś, kto odszyfrowuje teksty, takie informacje są bardzo istotne. Ale i dla Scrabblisty cenna może być wiedza o tym, które litery do siebie pasują.

Jak nietrudno zgadnąć, najpopularniejsze pary kolejnych liter (w artykule [2] nazywane diadami, a na stronie kryptologów – bigramami) to w języku polskim IE oraz NI. Na następnych miejscach kolejność jest różna. Na podstawie Słownika Scrabblisty reszta pierwszej dziesiątki to: OW, AN, WA, AŁ, ZA, BY, CH, CI; według strony kryptograficznej: OW, ST, NA, AN, PO, CH, CZ, RZ; w opowiadaniu „Pętla”: RZ, PO, AŁ, SZ, CZ, WI, ZY, ZE; a na GADU-GADU: ZE, NA, CZ, TA, TO, AK, SZ, PO.

W Tabeli 5 dla każdej litery podałem (na podstawie Słownika Scrabblisty) po 5 liter występujących po niej i przed nią.

Po literze z lewej kolumny Przed literą z lewej kolumny
A N, Ł, C, M, J W, Z, I, N, Ł
Ą C, D, G, Ł, T J, N, Z, I, C
B Y, I, A, R, O O, A, Y, Ł, I
C H, I, Z, E, Y Ą, A, Y, Ś, E
Ć W, M, K, C, P A, Ś, I, Ę, E
D O, Z, A, R, E O, A, E, U, Z
E M, N, R, J, P I, Z, N, C, L
Ę C, T, Ł, D, B I, N, R, Z, J
F I, A, O, R, E E, A, O, U, Y
G O, A, R, N, I E, O, A, Z, Y
H A, O, U, N, E C, E, O, A, Z
I E, A, O, Ł, N N, C, M, L, W
J Ą, A, E, C, M A, E, U, I, O
K A, O, I, R, U S, E, A, O, Y
L I, A, E, O, U A, E, O, I, U
Ł A, O, Y, B, E A, I, Y, P, S
M I, Y, U, A, O Y, E, A, O, Ś
N I, A, O, E, Y A, O, E, I, Z
Ń S, C, M, K, Ż A, E, I, O, Y
O W, D, N, M, B P, R, Ł, K, G
Ó W, Ł, R, C, Ż R, P, K, Ł, T
P O, R, I, A, L E, O, A, S, U
R Z, O, A, Y, U A, E, P, O, T
S Z, K, T, I, A A, E, O, U, Y
Ś C, M, L, N, W Y, O, I, E, A
T A, O, R, Y, E S, A, O, E, Y
U J, S, R, C, P M, K, R, I, T
W A, Y, I, E, O O, E, A, Y, Ó
Y M, Ś, C, B, W B, W, M, N, Z
Z A, E, Y, O, I R, C, S, D, O
Ź N, W, L, C, M D, E, A, U, O
Ż E, A, Y, O, N E, Y, O, A, J

Tabela 5

Jak łatwo zgadnąć, po samogłoskach najczęściej występują spółgłoski i na odwrót. Ale są pewne wyjątki od tej reguły. Wśród samogłosek litera I, po której najczęściej występują inne samogłoski, a wśród spółgłosek C, R i S oraz wszystkie spółgłoski zmiękczone (Ć, Ń, Ś, Ź).

Jeśli chodzi o zagadnienie odwrotne, to powyższa prawidłowość też zachodzi i też jest kilka od niej wyjątków. Przed literami E i Ę najczęściej występuje litera I, przed K i T – S, przed Z – R, a przed Ź – D. Ciekawa jest sytuacja z literą H. Mniej więcej w 6% przypadków pojawia się na początku wyrazu, w 88% po literze C, a w 6% po wszystkich innych literach łącznie. Druga w kolejności para EH występuje ponad 60 razy rzadziej niż CH.

 

Bibliografia:

[1] Barbara Kowalska „Częstość występowania liter w języku polskim”, Litera, Rok II, nr 13-5/1967

[2] Marek Osiewicz, Krzysztof Skibski „Struktura statystyczna polskiego systemu graficznego.

Analiza historyczno-porównawcza”, Poznańskie Studia Polonistyczne, Seria Językoznawcza t. 19 (39), z. 2, 2012

[3] L. Zubrzycka „O wyznaczaniu systemów stenograficznych”, Zastosowania Matematyki, XI, 3, 1970

[4] Wojciech Usakiewicz, Michał Derlacki „Grajmy w Scrabble”, Wydawnictwo KLEKS, Bielsko-Biała 1998

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

sklep z grami planszowymi planszomania.pl
x

Check Also

W co się na działce grało

W zeszłym tygodniu spotkała mnie straszliwa tragedia. Nieodwołalnie skończył mi się urlop. Nieszczęsny, dręczony codziennym rozkładem dnia siedzę i wspominam: w co pograłem na wakacjach. Ze sterty ze zdjęcia widocznej na zdjęciu wprowadzającym poszło w ruch więcej tytułów niż myślałem, a oczywiście mniej niż chciałem. Jak sortowałem? Kolejnością rozgrywania. Udostępnij: Facebook Twitter LinkedIn More

Share via
Copy link
Powered by Social Snap